第二讲 资产组合选择理论本讲主要讲述以下内容： 收益与风险的度量标准的Markowitz 均值—方差模型 推广的风险---收益组合选择模型 § 1.2 收益与风险的度量1. 资产收益（Return,Income,Yield ）度量投资在某项资产上的收益(Return,Income)就是资产价格在一定时间上的绝对改变量，收益率(Yield)是资产价格的变化率。

这里资产指的是一切负债工具、普通股股票、期权、期货、优先股、房地产、收藏品等。

常见资产价格过程：无风险资产（银行存款，短期债券）的价格离散时间 n f n r P P )1(0+=，T n ,...,2,1=连续时间 ⎰=tduu t e P P 0)(0λ，],0[T t ∈；其中)(t λ为t 时刻的利息力（定义为tt t tt t P P tP P P t t '∆-→∆==∆+0lim)(λ）特别，利息强度为常数即λλ=)(t 时，t t e P P λ0=； 当n t =时，n f n n r P e P P )1(00+==λ，所以)1ln(f r +=λ 风险资产（股票，长期债券）的价格Black-Scholes 模型：)(t t t dW dt S dS σμ+= 解上述方程可得：tW t t eS S σσμ+-=)(0221其中t W 是概率空间),,(P F Ω上的标准Brown 运动（即t W 是零初值平稳的独立增量过程，且具有正态分布),0(~t N W t ）。

股票价格模型的其他形式：带Possion 跳的几何Brown 运动模型、随机波动率模型、分式几何Brown 运动模型、一般的指数半鞅模型） 离散时间风险证券价格)1),...(1)(1(210n t t t T R R R S S +++=其中，T t t t t n ==,...,,0210是],0[T 的n 等分点，i t R 表示时间区间],[1i i t t -上的利息率，通常假设 n t t t R R R ,...,21是独立同分布随机变量。

特别，)1(01R S S +=，R 是风险利率，是随机变量。

如果证券到期按面值P 兑换，那么该证券在0时刻的期望（合理）发行价格为：)](1[]1[)1(111110R rR r P Rr R r P f f f f E E R PE B +-++-+--⋅=-⋅=+=收益率设}0;{T t S S it ≤≤=是定义在滤子概率空间),)(,,(P F F T t t ≤Ω上的-+R 值随机过程，t F 表示市场参与者在t 时刻所掌握的有关市场的全部信息，it S 表示资产i （如股票或者债券）在t 时刻的价格，资产i 在第t 时期],1[t t -内的收益率定义为：11)(--+-=it itit it S D S S it R ， T t ,...,2,1= （1.1） it D 表示第t 时期],1[t t -资产i 的红利（债券的利息），通常假设it D 是确定且为常数d D it =。

所以某一资产的收益率为在一定时间内（],1[t t -）单位投资（1-it D ） 获得的总收益（it it it D S S +--)(1）。

资产的收益率也是概率空间),)(,,(P F F T t t ≤Ω上的一个随机过程。

特别，风险资产的价格是几何Brown 运动，且股票无红利支付，则股票的瞬时收益率为：tS dS dW dt t tσμ+= 如果风险资产价格过程为：)1),...(1)(1(210n t t t T R R R S S +++=其中，假设n t t t R R R ,...,21是独立同分布随机变量，则该资产在],0[T 上的收益率为1)1),...(1)(1(21-+++=n t t t T R R R R即：∑=+=+++=+ni t t t t T i n R R R R R 1)1ln()]1),...(1)(1ln[()1ln(21由中心极限定理可知，)1ln(T R +近似服从正态分布。

任一资产（除了无风险资产以外），由于未来收益的不确定性，因而存在有风险。

资产收益率R 是随机变量，如果能够知道收益率的概率分布，就可以确定资产的平均收益率][R E 。

资产收益通常用资产收益率的均值来度量。

通过收集收益率i R 的历史数据it r ，T t ,...2,1=利用数理统计中的估计理论（非参数估计和参数估计理论），通过对收益率分布的估计，从而可以度量资产未来的收益和风险。

矩估计值为： ∑===Tt it T i i r R r 11ˆˆ2. 资产风险(Risk)的度量风险（risk ）是指风险资产的预期收益的不确定性（概率）。

对资产未来收益的不确定性的度量就是风险度量（Risk Measure ）。

资产风险是指风险资产的价格或收益率的不确定性。

度量风险的标准有很多，最简单的风险度量标准是：方差)(R Var实际应用中可用矩估计方法，用收益率的样本方差来作为其估计量：∑=-==Ti i it Ti ir r R Var 1212)()ˆ(ˆσ 或者修正样本方差 ∑=--==T i i itT iir rR Var 12112)()ˆ(ˆσ推广的风险度量标准全风险测度(Overall Risk Measure)：方差: )(R Var 标准差: )(R Var期望绝对偏差: |)(|R E R E -市场风险（系统风险）: )(),(m m i R Var R R Cov i =β下滑风险测度(Downside Risk Measure)下偏矩(Lower Partial Moments)n 阶下偏矩定义为：)()()(x dF x q q LPM X qn n ⎰∞--=其中，}{)(x X P x F X ≤=是资产X 收益的分布函数.1) 二阶下偏矩（或半方差）（SLPM)：dx x F x q x dF x q q SLPM X qX q)()(2)()()(2⎰⎰∞-∞--=-=2) 一阶下偏矩（FLPM)dx x F x dF x q q FLPM X q X q)()()()(⎰⎰∞-∞-=-=3) 零阶下偏矩（ZLPM))()(x dF q ZLPM X q ⎰∞-=4) 风险价值（Value at Risk ，简记为VaR ） )(1p F VaR p --= 即：p VaR X P p =-≤}{一定的目标期间内，在给定的置信水平p 下，预期的最大损失。

如果资产的分布是对称分布，上述定义等价于p VaR X P p -=≤1}{5) 条件风险价值（Conditional Value at Risk, 简记为CVaR ） ]|[p p VaR X X E CVaR ≥--= 6) 风险资本（Capital at Risk ，简记为CaR ） )(10p F e X CaR rT p ---=7) 条件风险资本（Conditional Capital at Risk ，简记为s CaR ）]|[0p rT s p VaR X X E e X CaR -≥-=-8) 风险收益(Earnings at Risk,简记为EaR) ]|[][p p VaR X X E X E EaR -≥-= 有关上述不同风险度量之间的关系可参看文献：Jon Danielsson, Bjorn N. Jorgensen ,Mandira S,Casper G . Comparing Risk Measures.Kaplanski G ,Kroll Y . VaR Risk Measures Versus Traditional Risk Measures:and Analysis and Survey. Journal of Risk, 2000, 4(3).§ 1.2标准均值—方差资产组合选择模型1952年，Markowitz 在Journal of Finance 上发表了“Portfolio Selection ”一文，最先提出用风险资产的预期收益率和收益率的方差（或标准差）来度量风险资产的收益和风险，利用数理模型研究了资产组合的选择问题---均值—方差资产组合选择模型。

模型的基本假设组合分析是在单一时期进行； 资产是无限可分；收益率概率分布的均值和方差是存在的，可以用参数估计的方法估计； 市场是无摩擦的（无交易费、税收、红利等因素）；投资者是理性的，即在相同的风险下，追求收益最大化，或者在相同的收益下追求风险最小。

模型建立设i R 表示第i 种资产的收益率，是一个随机变量均值方差存在，i i r R E =)(，2)(i i R Var σ=，ij j i R R Cov σ=),(，记协方差矩阵为)(ij σ=∑，i x 表示投资在第i种资产上的份额（在每种资产上分配的比例），0≥i x （不允许卖空），n i ,...,2,1=，11=∑=ni ix，称∑==ni i i R x R 1为由n 个资产组成的投资组合，该投资组合的期望收益和方差分别为r x r x R E x R E i ni i i n i i p '====∑∑==11)()(μx x x x R x Var R Var ijnj jini i n i i p∑'====∑∑∑===σσ1112)()(显然 i ni p i ni r r ≤≤≤≤≤≤11max min μ标准均值—方差资产组合选择模型给定收益率的条件下选择风险最小的投资组合，即指定收益率p r x μ='，求),...,(21'=n x x x x 使得投资组合的风险x x p ∑'=2σ最小。

x x x x ijnj jini px∑'==∑∑==σσ112mint s .p ini i r x rx μ='=∑=111=∑=ni ix0≥i x n i ,...,2,1=上述优化问题的最优解称为有效投资组合，对任意给定的投资组合期望收益水平p μ，都可以得到一个与其相对应的有效投资组合的最小方差2σ，全部有效投资组合对应的收益率方差和期望在方差2σ—均值p μ平面上对应的集合称为投资组合的有效边界；在有效边界上不同投资者根据自己对风险和收益的偏好不同，选择各自的最优资产组合。

模型的求解由拉格朗日乘子法，令)(2)1(2),,...,(1211112,121p i i ni i i n i ijnj jini n r x r x x x x x x L μλλσλλ----=∑∑∑∑====)(2)1(221p r x I x x x μλλ-'--'-∑'=于是有022221=--∑=∂∂r I x xLλλ所以有 )(211r I x λλ+∑=- 代入约束条件解得：p r r r I μλλ=∑'+∑'--2111)()(1)()(2111=∑'+∑'--λλI r I I令：I I A 1-∑'=，r I B 1-∑'=，r r C 1-∑'=，2B AC -=∆，解上述线性方程组可得∆-=B C p μλ1，∆-=BA p μλ2所以优化问题的最优解为：2111λλ⋅∑+⋅∑=--r I x对应的最小方差为：2121112)(λμλλλσp r x I x x x x +=⋅∑∑'+⋅∑∑'=∑'=--)2()(212C B A x p p +-=∆μμσ最优问题解的性质：1）对任意p μ（i ni p i ni r r ≤≤≤≤≤≤11max min μ），有效投资组合得有效边界是p μσ-2平面上的一条抛物线。