F EC ADB A 1C 1B 1BCAD FE ABC M NA 1B 1C 1BCB A 1C 1ADC 1D 1B 1A CD ABE《立体几何》解答题1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； （Ⅱ）平面EFC ⊥平面BCD.2.（2009年江苏卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C.（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） 3. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点. （Ⅰ）求证：BC ∥平面MNB 1； （Ⅱ）求证：平面A 1CB ⊥平面ACC 1A 1．4. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC ⊥BC, 点D 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面CDB 1； （Ⅲ）线段AB 上是否存在点M ，使得A 1M ⊥平面CDB 15. 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点，Ｅ为BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面AB 1E ； （Ⅱ）求直线AB 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值； （Ⅲ）求三棱锥C －ABD 的体积.6. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 为AA 1的中点.求证：（Ⅰ）A 1C ∥平面FBD ； （Ⅱ）平面FBD ⊥平面DC 1B.（第5题） （第6题） （第7题）C 1D 1B 1CDA 1MA BCD A 1 B 1C 1D 1 M AC ENF A11BC 1CEFD7. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面CB 1D 1； （Ⅱ）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1； （Ⅲ）如果AB ＝1，一个点从F 出发在正方体的表面上依次经过棱BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 上的点，又回到F ，指出整个线路的最小值并说明理由.8. 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，BC ＝2BB 1, 设B 1D BC 1＝F.（Ⅰ）求证：A 1C ∥平面AB 1D ； （Ⅱ）求证：BC 1⊥平面AB 1D. （第8题）9. 如图所示,在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1中, DB ＝BC, DB ⊥AC, 点M 是棱BB 1上一点.(Ⅰ)求证：B 1D 1 ∥面A 1BD ； (Ⅱ)求证：MD ⊥AC ； (Ⅲ)试确定点M 的位置, 使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D. 10. 四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为8的菱形，∠BAD ＝60°,若PA ＝PD ＝5，平面PAD ⊥平面ABCD.(Ⅰ)求四棱锥P －ABCD 的体积； (Ⅱ)求证：AD ⊥PB ；(Ⅲ)若E 为BC 的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）11. 如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (Ⅰ)求证：AE ⊥BE ；(Ⅱ)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE ．12. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3, BC ＝2 ,D 是BC 的中点，F 是CC 1上一点，且CF ＝2，E 是AA 1上一点，且AE ＝2. (Ⅰ) 求证：B 1F ⊥平面ADF ； （Ⅱ）求证：BE ∥平面ADF.13. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点.（Ⅰ）若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；CBABCMP DDB A 1A FA C（第18题）（Ⅱ）点M 在线段PC 上，PM ＝t PC ，试确定实数t 的值，使得PA ∥平面MQB.14. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ， △PAD 是等边三角形，已知AD ＝4, BD ＝34，AB ＝2CD ＝8. （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD （Ⅲ）求四棱锥P －ABCD 的体积．（第13题） （第14题） （第16题）16. 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.17. 如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；（Ⅲ）在线段AE 上找一点R ，使得面BDR ⊥面DCB ，并说明理由.（第17题）18. 在四棱锥P － ABCD 中，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD. （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若平面PAB I 平面PCD l ，问：直线l 能否与平面ABCD 平行请说明理由.ADP 图乙A DBCP E FBACEFDF E P19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求证：CF ∥平面BAE. （第19题）20. 如图, ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，AB ＝4a ，BC ＝CF ＝2a ，P 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （Ⅱ）求四面体PCEF 的体积.（第20题） （第21题）21. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中, ∠ACB ＝90°, E , F , G 分别是AA 1 , AC , BB 1的中点，且CG ⊥C 1G.(Ⅰ)求证：CG ∥平面BEF ； (Ⅱ)求证：CG ⊥平面A 1C 1G.22. 如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝PB ＝2CD ，A 是PB 的中点.现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA ⊥AB （如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点. （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面PAE ⊥平面PDE ；（Ⅲ）在PA PDE.23. 已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ， （第23题） ∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，λ==ADAFAC AE （10<<λ）. （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当为λ何值时，平面BEF ⊥平面ACD《立体几何》解答题参考答案1. 证明：（Ⅰ）∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线 ∴ EF ∥AD又∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD, ∴直线EF ∥面ACD（Ⅱ）∵AD ⊥BD, EF ∥AD, ∴EF ⊥BD, ∵CB ＝CD, F 是BD 的中点, ∴CF ⊥BDABC MNA 1B 1C 1EBCB A 11ADF EC ADA 1C 1B 1BC AD FE 又EF ⋂CF ＝F, ∴BD ⊥面ECF, ∵BD ⊂面BCD, ∴面EFC ⊥面BCD 2. 证明：（Ⅰ）因为E, F 分别是A 1B, A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，又EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，所以BB 1 ⊥平面A 1B 1C 1，BB 1 ⊥A 1D ，又A 1D ⊥B 1C.所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C.（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） 3. 证明：（Ⅰ）因BC ∥B 1C 1， 且B 1C 1⊂平面MNB 1， BC ⊄平面MNB 1，故BC ∥平面MNB 1． （Ⅱ）因BC ⊥AC ，且ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，故BC ⊥平面ACC 1A 1． 因BC ⊂平面A 1CB ， 故平面A 1CB ⊥平面ACC 1A 1．4. 证明：（Ⅰ）∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴平面ABC ⊥平面A 1ABB 1, ∵AC ＝BC ，点D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB, 面ABC ⋂面A 1ABB 1 ＝AB ∴CD ⊥平面A 1ABB 1（Ⅱ）连结BC 1，设BC 1与B 1C 的交点为E ，连结DE ．∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1∵DE ⊂平面CDB 1 , AC 1⊄平面CDB 1, ∴AC 1∥平面CDB 1.（Ⅲ）存在点M 为B. 由（Ⅰ）知 CD ⊥平面A 1ABB ，又 A 1B ⊂平面A 1ABB ，∴CD ⊥A 1B∵AC ＝BC ＝CC 1，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点．∴A 1A : AB ＝BD : BB 1＝1:2, ∴A 1B ⊥B 1D, 又CD ⋂B 1D ＝D, ∴A 1B ⊥平面CDB 1.5. 解：（Ⅰ）∵棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，且E 为BC 的中点， ∴平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，又AE ⊥BC 且AE ⊂平面ABC, ∴AE ⊥平面BCC 1B 1而D 为CC 1中点，且BD ⊂平面BCC 1B 1 ∴ AE ⊥BD由棱长全相等知Rt △BCD ≌Rt △B 1BE, 即111+=+90CBD B EB BB E B EB ∠∠∠∠=︒，故BD ⊥B 1E, 又AE ⋂B 1E ＝E ， ∴BD ⊥平面AB 1E（Ⅱ）由AE ⊥平面BCC 1B 1知∠AB 1E 是直线AB 1与平面BB 1C 1C 所成的角，设为θ∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2 , ∴在Rt △AEB 1中136sin 422AE AB θ===FFC 1A 1CBB1（Ⅲ）C ABD A CBD V V --= 11121332BCD S AE ∆=⋅=⨯⨯⨯= 6. 证明：（Ⅰ）连结AC, 设AC ⋂BD ＝O.∵F 为AA 1的中点，O 为AC 的中点 ∴FO ∥A 1C ∵A 1C ⊄平面BFD ，FO ⊂平面BFD ∴A 1C ∥平面BFD（Ⅱ）设正方体棱长为1 . ∵23,26,22,2311====FC O C OC FO ∴21212FC OC FO =+ ∴ FO ⊥OC 1又∵AA 1 ⊥平面ABCD ∴ AA 1⊥BD ∵ BD ⊥AC ∴BD ⊥平面A 1ACC 1 ∵ FO ⊂平面A 1ACC 1 ∴ BD ⊥FO ∵ BD ⋂C 1O ＝O ∴ FO ⊥平面BDC 1 ∵ FO ⊂平面BFD ∴ 平面BFD ⊥平面C 1BD 另证：∵122CC AOOC FA == ∴ Rt △FAO ∽Rt △OCC 1 ∴∠FOA ＝∠OC 1C ∴∠FOA ＋∠COC 1 ＝∠OC 1C ＋∠COC 1＝90° ∴∠FOC 1＝90° ∴FO ⊥OC 1 7. （Ⅰ）证明：连结BD. 在长方体AC 1中，对角线BD ∥B 1D 1.又Q E 、F 为棱AD 、AB 的中点， ∴ EF ∥BD. ∴ EF ∥B 1D 1. 又B 1D 1⊂平面CB 1D 1，EF ⊄平面CB 1D 1， ∴ EF ∥平面CB 1D 1. （Ⅱ）证明：Q 在长方体AC 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴ AA 1⊥B 1D 1.又Q 在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又Q B 1D 1⊂平面CB 1D 1， ∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．（Ⅲ）解：最小值为23.如图，将正方体六个面展开，从图中F 到F ，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 上的中点，所求的最小值为23.8. 证明：（Ⅰ）连结A 1B, 设A 1B 与AB 1交于E, 连结DE∵点D 是BC 的中点，点E 是A 1B 的中点 ∴ DE ∥A 1C ∵ A 1C ⊄平面AB 1D , DE ⊂平面AB 1D ∴ A 1C ∥平面AB 1D （Ⅱ）∵△ABC 是正三角形，点D 是BC 的中点 ∴ AD ⊥BC∵平面ABC ⊥平面B 1BCC 1 ，平面ABC ⋂平面B 1BCC 1＝BC ，AD ⊂平面ABC∴ AD ⊥平面B 1BCC 1 ∵BC 1⊂平面B 1BCC 1 ∴ AD ⊥BC 11CAMABCDA 1B1 C 1D 1 NN 1O ∵ 点D 是BC 中点，BC ＝2BB 1 ∴ BD ＝22BB 1 ∵2211==BC CC BB BD ∴ Rt △B 1BD ∽Rt △BCC 1 ∴ ∠BDB 1＝∠BC 1C, ∴ ∠FBD ＋∠BDF ＝∠C 1BC ＋∠BC 1C ＝90° ∴ BC 1 ⊥B 1D∵B 1D ⋂AD ＝D ∴ BC 1 ⊥平面AB 1D9. (Ⅰ)证明：由直四棱柱, 得BB 1∥DD 1 ,且BB 1＝DD 1. 所以BB 1D 1D 是平行四边形, 所以B 1D 1 ∥BD 而BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，所以B 1D 1 ∥平面A 1BD(Ⅱ)证明：因为BB 1 ⊥面ABCD,AC ⊂面ABCD ，所以BB 1 ⊥AC又因为BD ⊥AC,且1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥面BB 1D 而MD ⊂面BB 1D ，所以MD ⊥AC(Ⅲ)当点M 为棱BB 1的中点时, 平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D取DC 的中点N, D 1C 1中点N 1, 连结NN 1交DC 1于O, 连结OM. 因为N 是DC 中点, BD ＝BC, 所以BN ⊥DC ；又因为DC 是面ABCD 与面DCC 1D 1的交线,而面ABCD ⊥面DCC 1D 1, 所以 BN ⊥面DCC 1D 1又可证得,O 是NN 1的中点,所以BM ∥ON 且BM ＝ON, 即BMON 是平行四边形,所以BN ∥OM,所以OM ⊥平面D D CC 11, 因为OM ⊂面DMC 1, ai 所以平面DMC 1 ⊥平面D D CC 11. 10. 解：(Ⅰ) 过P 作PM ⊥AD 于M ， ∵面PAD ⊥面ABCD, ∴PM ⊥面ABCD ， 又PA ＝PD ＝5 ∴M 为AD 的中点且PM ＝34522=-, ∴3323238831=⨯⨯⨯⨯=-ABCD P V (Ⅱ)证明：连结BM ， ∵BD ＝BA ＝8， AM ＝DM, ∴AD ⊥BM 又AD ⊥PM , BM ⋂PM ＝M∴AD ⊥面PMB 又PB ⊂面PMB ∴ AD ⊥PB(Ⅲ) 能找到并且F 为棱PC 的中点证法一：∵F 为PC 的中点，∴EF ∥PB ， 又由(Ⅱ)可知AD ⊥面PMB ，∴AD ⊥DE ，AD ⊥EF∴AD ⊥面DEF ， 又AD ⊂面ABCD ， ∴面DEF ⊥面ABCD证法二：设CM ⋂DE ＝O, 连结FO ， ∴O 为MC 的中点在△PMC 中FO ∥PM ， ∵PM ⊥面ABCD ， ∴FO ⊥面ABCD 又FO ⊂面DEF ， ∴面DEF ⊥面ABCD11. 证明：（Ⅰ）因为BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，所以AE ⊥BC ，D CEA 1BCB又BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以AE ⊥BF ，又BF ⋂BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCE, 又BE ⊂平面BCE ，所以 （Ⅱ）取DE 的中点P ，连接PA ，PN ，因为点N 为线段CE 的中点．所以PN ∥DC ，且DC PN 21=，又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点， 所以AM ∥DC ，且DC AM 21=， 所以PN ∥AM ，且PN ＝AM ，故四边形AMNP 是平行四边形，所以MN ∥AP 而AP ⊂平面DAE ，MN ⊄平面DAE ，所以MN ∥平面DAE. 12. 证明：（Ⅰ） 因为 AB ＝AC ， D 为BC 的中点， 所以AD ⊥BC又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC,所以AD ⊥BB 1 , 又BC ⋂BB 1＝B, 所以AD ⊥平面BCC 1B 1 ， 又B 1F ⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥B 1F, 在矩形BCC 1B 1中， C 1F ＝CD ＝1, CF ＝C 1B 1＝2, 所以Rt △DCF ≌Rt △FC 1B 1 , 所以 ∠CFD ＝∠C 1B 1F 所以 ∠B 1FD ＝90°, 所以B 1F ⊥FD, 又AD ⋂FD ＝D, 所以B 1F ⊥平面ADF.（Ⅱ）连结EF, EC, 设EC ⋂AF ＝M, 连结DM, 因为AE ＝CF ＝2, 又AE ∥CF, AC ⊥AE,所以 四边形AEFC 是矩形，所以M 为EC 中点，又D 为BC 中点，所以 MD ∥BE ， 因为MD ⊂平面ADF, BE ⊄平面ADF ，所以BE ∥平面ADF.13. 解：（Ⅰ）连结BD ，四边形ABCD 是菱形 ∵AD ＝AB ，∠BAD ＝60°∴△ABD 为正三角形，Q 为AD 的中点， ∴AD ⊥BQΘPA ＝PD , Q 为AD 的中点，∴ AD ⊥BQ 又BQ ⋂PQ ＝Q,∴ AD ⊥平面PQB, 又AD ⊂平面PAD, ∴ 平面PQB ⊥平面PAD（Ⅱ）当31=t 时，使得PA ∥平面MQB ，连结AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，则O 为BD 的中点，又ΘBQ 为△ABD 边AD 上的中线，∴ N 为正△ABD 的中心，令菱形ABCD 的边长为a ，则a AN 33=，a AC 3=. ∵ PA ∥平面MQB , PA ⊂平面PAC ，平面PAC ⋂平面MQB ＝MN ， ∴ PA ∥MNAB31333===a aAC AN PC PM 即：PC PM 31=， ∴ 31=t . 14. 解：（Ⅰ）在△ABD 中，∵AD ＝4, BD ＝34, AB ＝8，∴222AD BD AB +=． ∴ AD ⊥BD又 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面PAD ．又BD ⊂平面MBD ， ∴平面MBD ⊥平面PAD. （Ⅱ）当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，PA ∥平面MBD.证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ．∵AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是梯形．∵AB ＝2CD ， ∴ CN : NA ＝1 : 2．又 ∵CM : MP ＝1 : 2， ∴CN : NA ＝CM : MP ∴ PA ∥MN.∵ PA ⊄平面MBD ，MN ⊂平面MBD ，∴ PA ∥平面MBD.（Ⅲ）过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ．即PO 为四棱锥P－ABCD 的高.又 ∵△PAD 是边长为4的等边三角形，∴4PO =.在Rt △ADB 中，斜边AB=ABCD 的高． ∴梯形ABCD 的面积482ABCD S+=⨯= 故1243P ABCD V -=⨯=. 16. 证明：（Ⅰ）由直三棱柱可知CC 1⊥平面ABC, 所以CC 1⊥AC又因为AC ⊥BE, CC 1⋂BE ＝E, AC ⊥面BCE, 所以AC ⊥BC 又在直三棱柱中，CC 1⊥BC, AC ⋂CC 1＝C ，故BC ⊥平面ACC 1A 1 , C 1D ⊂平面ACC 1A 1 , 所以BC ⊥C 1D（Ⅱ）连结AE ，因为C 1E ∥DA ，且C 1E ＝DA ，所以四边形ADC 1E 为平行四边形，所以C 1D ∥EA ，在△AEB 中，因为M, F 分别为BE, BA 的中点，所以MF ∥EA ， 所以C 1D ∥MF ，又C 1D ⊄平面B 1FM ，MF ⊂平面B 1FM ， 所以C 1D ∥平面B 1FM17. 证明：（Ⅰ）由已知得：DE ⊥AE, DE ⊥EC, AE ⋂EC ＝E, ∴DE ⊥平面ABCE, ∴DE ⊥BC, 又BC ⊥CE, DE ⋂EC ＝E , ∴BC ⊥平面DCE（Ⅱ）取AB 中点H ，连接GH , FH. ∴GH ∥BD, FH ∥BC,∴GH ∥平面BCD, FH ∥平面BCD（第18题）BD ∴平面FHG ∥平面BCD, ∴GF ∥平面BCD （或证明CQ ∥FG ）（Ⅲ）当R 点满足3AR ＝RE 时，平面BDR ⊥平面BDC.证明：取BD 中点Q ，连结DR , BR , CQ , RQ计算得2,2CD BD CR DR CQ =====在△BDR 中2BR DR BD ===Q 延长BQ 到S 使SQ ＝RQ ，则在平行四边形BRDS 中, 对角线的平方和等于四边的平方和.由2222)2()(2RQ BD DR BR +=+可知RQ =, ∴在△CRQ 中,222CQ RQ CR += , ∴ CQ ⊥RQ又在△CBD 中, CD ＝CB, Q 为BD 的中点，∴CQ ⊥BD, BD ⋂RQ ＝Q ∴CQ ⊥平面BDR , 又CQ ⊂平面BDC, ∴平面BDC ⊥平面BDR 18. 解：（Ⅰ）因为∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，所以AD ⊥AB.而平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB I 平面ABCD ＝AB,所以AD ⊥平面PAB, 所以AD ⊥PA. 同理可得AB ⊥PA. 由于AB 、AD ⊂平面ABCD ，且AB I AD ＝C, 所以PA ⊥平面ABCD.（Ⅱ）（解法一）不平行.证明：假定直线l ∥平面ABCD,由于l ⊂平面PCD ，且平面PCD I 平面ABCD ＝CD, 所以l ∥CD. 同理可得l ∥AB, 所以AB ∥CD. 这与AB 和CD 是直角梯形ABCD 的两腰相矛盾,故假设错误，所以直线l 与平面ABCD 不平行.（解法二）因为梯形ABCD 中AD ∥BC, 所以直线AB 与直线CD 相交，设AB I CD ＝T. 由T ∈CD ，CD ⊂平面PCD 得T ∈平面PCD. 同理T ∈平面PAB. 即T 为平面PCD 与平面PAB 的公共点，于是PT 为平面PCD 与平面PAB 的交线.所以直线l 与平面ABCD 不平行. 19. 证明：（Ⅰ）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AC ⊥CD ，且AC ⋂PA ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC ， 又CD ⊂平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ．GAB 1FP（Ⅱ）解法一：取AE 中点G ，连接FG ，B G ．因为F 为ED 的中点，所以FG ∥AD 且FG ＝12AD ． 在△ACD 中，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°， 所以AC ＝12AD ，所以BC ＝12AD ．在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，所以∠ACB ＝60°， 从而∠ACB ＝∠DAC ，所以AD ∥BC ．综上，FG ∥BC ，FG ＝BC ，四边形FGBC 为平行四边形，所以CF ∥BG ．又BG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ，所以CF ∥平面BAE ．解法二：延长DC 与AB 交于G 点，连接EG ．因为在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，所以∠CAB ＝60°, 所以∠CAB ＝∠CAD ， 即AC 为∠DAG 的平分线．又AC ⊥CD ，所以AG ＝AD ，C 为DG 中点，又F 为ED 的中点． 所以CF ∥EG ．根据EG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ，所以CF ∥平面BAE ．20. 解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，AB ＝2BC, P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC ＝45°.同理可证∠APD ＝45°. 所以∠DPC ＝90°，即PC ⊥PD. 又DE ⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE.因为DE ⋂PD ＝D ，所以PC ⊥PDE . 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE. （Ⅱ）因为CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，所以DE ∥CF. 又DC ⊥CF ，所以211424.22CEF S DC CF a a a ∆=⋅=⨯⨯=在平面ABCD 内，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则PQ ∥BC ，PQ ＝BC ＝2a . 因为BC ⊥CD ，BC ⊥CF ， 所以BC ⊥平面PCEF ，所以 PQ ⊥平面DCEF ， 亦即P 到平面DCEF 的距离为PQ ＝2a.2311842.333PCEF P CEF CEF V V PQ S a a a -∆==⋅=⋅⋅=（注：本题亦可利用31863P CEF B CEF E BCF D BCF V V V V DC BC CF a ----====⋅⋅=求得）21. 证明：(Ⅰ)连结AG 交BE 于D, 连接DF , EG.E BCA∵ E , G 分别是AA 1 , BB 1的中点，∴AE ∥BG 且AE ＝BG, ∴四边形AEGB 是平行四边形. ∴ D 是AG 的中点,又∵ F 是AC 的中点, ∴DF ∥CG则由DF ⊂面BEF, CG ⊄面BEF, 得CG ∥面BEF (注：也可证明平面A 1CG ∥平面BEF)(Ⅱ) ∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥底面A 1B 1C 1, ∴C 1C ⊥A 1C 1 . 又∵∠A 1C 1B 1＝∠ACB ＝90°, 即C 1B 1 ⊥A 1C 1, ∴ A 1C 1⊥面B 1C 1CB 而CG ⊂面B 1C 1CB, ∴ A 1C 1⊥CG 又CG ⊥C 1G, ∴CG ⊥平面A 1C 1G22. 解：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥AD, PA ⊥AB, AB ⋂AD ＝A ，所以PA ⊥平面ABCD.（Ⅱ）证明：因为BC ＝PB ＝2CD, A 是PB 的中点，所以ABCD 是矩形，又E 为BC 边的中点，所以AE ⊥ED.又由PA ⊥平面ABCD, 得PA ⊥ED, 且PA ⋂AE ＝A, 所以ED ⊥平面PAE ， 而ED ⊂平面PDE ，故平面PAE ⊥平面PDE.（Ⅲ）过点F 作FH ∥ED 交AD 于H ，再过H 作GH ∥PD 交PA 于G, 连结FG.由FH ∥ED, ED ⊂平面PED, 得FH ∥平面PED ； 由GH ∥PD ，PD ⊂平面PED ，得GH ∥平面PED ，又FH ⋂GH ＝H ，所以平面FHG ∥平面PED.所以FG ∥平面PDE. 再分别取AD 、PA 的中点M 、N ，连结BM 、MN ， 易知H 是AM 的中点，G 是AN 的中点， 从而当点G 满足AG ＝41AP 时，有FG ∥平面PDE.23. 证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ， ∵CD ⊥BC 且AB ⋂BC ＝B ， ∴CD ⊥平面ABC. 又∵λ==ADAFAC AE （10<<λ） ∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,∴不论λ为何值, 恒有平面BEF ⊥平面ABC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. ∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴,660tan 2,2===οAB BD ∴722=+=BC AB AC由AB 2＝AE·AC 得76=AE , ∴76==AC AE λ 故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD.。