点法式
x x(t)
y
y(t)
切线
P
Mar, 2008
法线
x0
四川大学数学学院 徐小湛
曲线 F(x, y)=0 的切向量与法向量
F(x, y) = 0 dy Fx
切向量 s {1, dy} dx
dx Fy
{1, Fx }
Fy
s {Fy , Fx} 切向量
s {Fy , Fx}
(x0, y0 )
y
y0
x(t0 ) y(t0 )
(x
x0 )
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) 0
Mar, 2008
四川大学数学学院 徐小湛
切线方程： x x0 y y0 对称式 x(t0 ) y(t0 )
法线方程： x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) 0
切线方程：
点法式
Fx (x0 , y0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0
x 法线方程：Fx (
x0
x0 , y0
)
y y0 Fy (x0 , y0 )
对称式
F(x, y) 0
切线
P
MБайду номын сангаасr, 2008
法线
x0
四川大学数学学院 徐小湛
3. 参数曲线 x=x(t), y=y(t) 在点(x0, y0) 处的切线 与法线 (其中 x0=x(t0), y0=y(t0) )
n {Fx , Fy} F
法向量
F(x, y) 0
Mar, 2008
四川大学数学学院 徐小湛
曲线 F(x, y) = 0 dy Fx dx Fy
Fxdx Fydy 0
{Fx , Fy}{dx, dy} 0
s {dx,dy}
法向量
n {Fx , Fy}
切向量
n {Fx , Fy}
Mar, 2008
四川大学数学学院 徐小湛
1. 曲线 y=f(x) 在点(x0, y0)处的切线与法线
切线斜率：kT f (x0 )
法线斜率：kn
1 f (x0 )
切线方程： y f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
法线方程： y
f
(x0 )
f
1 (x0 ) (x x0 )
Mar, 2008
Mar, 2008
四川大学数学学院 徐小湛
法线斜率： kn
Fy (x0 , Fx (x0 ,
y0 ) y0 )
法线方程：
y
y0
Fy (x0, Fx (x0,
y0 ) y0 )
(x
x0 )
Mar, 2008
x x0 y y0 Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )
四川大学数学学院 徐小湛
(x0, y0 )
s {dx, dy}
F(x, y) 0
Mar, 2008
四川大学数学学院 徐小湛
切线斜率：kT
y(x0 )
Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )
切线方程： y y0 y(x0 )(x x0 )
y
y0
Fx (x0 , Fy (x0 ,
y0 ) y0 )
(x
x0 )
Fx (x0 , y0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0
平面曲线的切线与法线方程
Mar, 2008
四川大学数学学院 徐小湛
平面曲线可以用三种方式表示： 1. 函数方程 y=f(x) （显函数曲线） 2. 二元方程 F(x, y)=0（隐函数曲线） 3. 参数方程 x=x(t), y=y(t) （参数曲线）
这也是表示函数的三种方式。
因此，平面曲线的切线与法线也有三种形式。
四川大学数学学院 徐小湛
切线方程： y f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
法线方程： y
f (x0 )
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
法线
y f (x)
切线
Mar, 2008
P f (x0 )
x0
四川大学数学学院 徐小湛
2. 曲线 F(x, y)=0 在点(x0, y0) 处的切线与法线
切线斜率： kT
y(x0 )
y(t0 ) x(t0 )
切线方程： y y0 y(x0 )(x x0 )
y
y0
y(t0 ) (x x(t0 )
x0 )
Mar, 2008
x x0 y y0 x(t0 ) y(t0 )
四川大学数学学院 徐小湛
法线斜率：
kn
x(t0 ) y(t0 )
法线方程：