又如在例 4.1.1 中
0 A2
2i
110
1 0
1
2 0
0
．
1
1 A 1
2
0 2 2
1 1 2
2 1
1 行 0
1
0
0 1 0
1 0 0
32 B ,
2 0
所以
1 A 1
2
0 2 2
1 0
0 1
1 0
2 3
．
2
利用矩阵的满秩分解处理一些矩阵问题时，有时会十分方便．
例 4.1.3 设 A1 与 A2 都是 m n 矩阵，证明
P (e j1 , e j2 , , e jn ) 称为置换矩阵，这里 j1 j2 jn 是1,2, , n 的一个全排列．
0 0 1 0
例如，矩阵
P
(e3
,
e4
,
e1
,
e2
)
=
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0
就是一个
4
阶置换
矩阵．
置换矩阵 P (e j1 , e j2 , , e jn ) 有如下一些性质： （1） P 是正交矩阵； （2）对任意 A C mn ， AP 是将 A 的列按 j1 , j2 , , jn 的次序
( A, E) ＝ 1
1
0 2
1 1
21 1 0
0 1
0 0
行
1 0
0 2
1 0
21 31
0 1
0 0
2 2 2 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 1
所以
B
1 0
0 2
1 0
2 ， 1
3 P 1
0 1
0 0
，可求得
P 1
1 1
0 1
0 ．
0
0 0 0 0
1 1 1
第4章-矩阵分解
注 4.1.1 矩阵 A 的满秩分解(4.1.1)不是唯一的，这是因为若取 D
是任一个 r 阶非奇异矩阵，则式（4.1.1）可改写为
~~
A (FD)(D1G) F G ， 这是 A 的另一个满秩分解．
注 4.1.2 定理 4.1.1 的证明过程表明，可以使用矩阵的初等行变 换方法求矩阵的满秩分解．
下面确定列满秩矩阵 F ，参照 A 的行最简形矩阵 B 作 n 阶置换
矩阵
P1 (e j1 , , e jr , e jr1 , , e jn ) ，
划分 A (1, 2 , , n ) ， B (1, 2 , , n ) ，则有
AP1 ( j1 , , jr , , jr1 , jn ) ，
定理 4.2.1（Schur 定理）若 A C nn ，则存在酉矩阵U ，使得
U H AU T 这里T 为上三角矩阵，T 的(主)对角线上的元素都是 A 的特征值．
证明 设 A 的特征值为 1, 2 , , n ． 若 1 为 A 的属于 1 的单
位特征向量． 把 1 扩充成 C n 的一组基 1,2 , ,n ．
F1 , F2
G1 G2
，
从而
rank ( A1 A2 ) rank (F1, F2 ) rank (F1 ) rank (F2 ) rank ( A1 ) rank ( A2 ) ．
4.2 舒尔定理及矩阵的QR分解
舒尔(Schur)定理在理论上很重要，它是很多重要定理 证明的出发点． 而矩阵的QR分解在数值代数中起着重要作 用，是计算矩阵特征值及求解线性方程组的一个重要工具.下 面的讨论是在酉空间Cn内进行的．
0 0 1 例 4.1.2 求矩阵 A 2 1 1 的满秩分解，其中 i 1 ．
2i i 0
解
0 A 2
0 1
1 1
行
1 0
1
2 0
0
1
B
，
2i i 0
0
0
0
因为 B 的第 1 列和第 3 列构成 E3 的前两列，所以， F 为 A 的第 1 列和第 3 列构成的
3×2 矩阵，从而有
BP1
(
j1
,
,
jr
,
, jr 1
,
jn
)
Er 0
B12 0
，
其中 B12 C r(nr) ，再由 A P1B ，可得
AP1
P1 (BP1 )
(F
,
S
)
Er 0
B12 0
(
F
,
FB12
)
，
即 F 为 AP1 的前 r 列构成的矩阵，也就是 A 的 j1, j2 , , jr 列构成的
矩阵．
利用定理 4.1.2 求 A 的满秩分解时，需要首先求出 A 的行最简 形矩阵 B ，但并未用到变换矩阵 P ，因此求矩阵 A 1 2 1 1 的满秩分解．
2 2 2 1
解 需要求出阶梯形矩阵 B 及诸初等矩阵的乘积 P ． 为此，对 距阵 ( A, E) 进行初等行变换，当 A 所在的位置成为阶梯形矩阵 B 时，
E 所在的位置就是进行初等行变换对应的初等矩阵的乘积 P ．
证明 由 A 行 B 知，存在 m 阶可逆矩阵 P ，使得 PA B 或 者 A P 1B ，根据定理(4.1.1)，将 P 1 分块为
P 1 (F , S ) ， F C mr , rank (F ) r ;
S C m(mr) ， rankS m r ． 可得满秩分解 A FG ，其中 G 为 B 的前 r 行构成的 r n 矩阵．
rank ( A1 A2 ) rank ( A1 ) rank ( A2 ) ．
证明 如果 A1 0 ，或者 A2 0 ，则结论显然成立． 如果 A1 0 且
A2 0 ，设 A1 与 A2 的满秩分解分别为 A1 F1G1 ， A2 F2G2 ，则有
A1 A2 F1G1 F2G2
2 1 1
于是有
1 A 1
2
110
1 0
0 2
1 0
2 3
．
上例中，求列满秩矩阵 F 时，需要求出矩阵 P 及其逆矩阵 P 1 ，
计算量较大． 为了避免这些运算，引入下面的定义．
定义 4.1.2 以 n 阶单位矩阵 En 的 n 个列向量 e1, e2 , , en 为列构成 的 n 阶矩阵
对它进行正交化、单位化，可以得到一组标准正交基
1,2 , ,n ．
以这组基作列向量构成的矩阵
（4.2.1）
重新排列所得到的矩阵．
我们已知，任意非零矩阵 AC mn且rankA r ，可通过初等
行变换化为行最简形矩阵 B ，且 B 的前 r 行线性无关．
定理 4.1.2 设 ACmn , rankA r (r 0) 的行最简形矩阵为
B ，那么，在 A 的满秩分解（4.1.1）中，可取 F 为 A 的 j1, j2 , , jr 列构成的 m r 矩阵， G 为 B 的前 r 行构成的 r n 矩阵．