第四章整环里的因子分解§1、素元、唯一分解一、整除、单位、相伴元定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。

b不能整除a记作b|a。

定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。

元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。

单位元必是单位，反之不然。

例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元⇔b=±a。

在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元⇔g（x）=cf（x）。

定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。

单位ε的逆元ε-1也是一个单位。

推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。

二、素元定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。

其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。

定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。

例2 在例1的Z中，素元就是素数。

在F[x]中，素元就是不可约多项式。

定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。

定理3整环I的一个非零元a有真因子⇔a=bc，b和c都不是单位。

推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。

那么c也是a的真因子。

三、唯一分解定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元）（ii）若同时a=q1q2…q s（q i是I的素元）那么r=s并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得q i=εi p i (εi是 I的单位)零元和单位都不能唯一分解。

例3 在整环I={}Z+,3中：a∈-bab（1）ε是单位1=⇔。

⇔ε=1ε2±（2）若4α2=，则α是素元。

（3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）：()()3+-=-⋅=113224-§2、唯一分解环一、唯一分解环定义一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。

定理1一个唯一分解环有以下性质：(iii)若素元p|ab，那么p|a或p|b。

定理2 假定一个整环I有以下性质：(i) I的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解a=p1p2…p r（p i是I的素元）(iii)若I的素元p|ab，那么p|a或p|b则I是唯一分解环。

由定理1和定理2可得：假定一个整环I的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解a=p1p2…p r（p i是I的素元）那么I是唯一分解环 若I的素元p|ab那么p|a或p|b。

二、最大公因子、互素定义元c叫做元a1，a2，…，a n的公因子，假如c同时能整除a1，a2，…，a n。

元a1，a2，…，a n的一个公因子d叫做a1，a2，…，a n的最大公因子，假如d能被a1，a2，…，a n的每一个公因子整除。

记为d=（a1，a2，…，a n）。

定理3 一个唯一解环I的两个元a和b在I里一定有最大公因子。

a和b的任两个最大公因子必相伴。

若d是元a和b的最大公因子，d＇与d相伴，则d＇也是a和b的最大公因子。

推论一个唯一分解环I的n个元a1，a2，…，a n在I里一定有最大公因子。

a1，a2，…，a n的两个最大公因子必相伴。

定义一个唯一分解环的元a1，a2，…，a n说是互素的，假如它们的最大公因子是单位。

§3、主理想环定义一个整环I叫做一个主理想环，假如I的每一个理想都是一个主理想。

注在整环中，主理想（b）⊂（a）⇔b∈（a）⇔a|b；（a）=（b）⇔a与b相伴。

引理1 （因子链条件）假定I是一个主理想环，若在序列a1，a2，…，a n，…（a n∈I）里，a n+1是a n的真因子（n=1，2，…），那么这个序列一定是一个有限序列。

引理2 假定I是一个主理想环，那么I的一个素元p生成一个最大理想。

定理一个主理想环I一定是唯一分解环§4、欧氏环定义一个整环I叫做一个欧氏环，假如（i）存在一个映射φ：I*→N（非负整数集）；（ii）给定a∈I*，I∀都可以写成b∈b=aq+r（q，r∈I）的形式，这里或是r=0或是φ（r）＜φ（a）。

例1整数环Z是一个欧氏环。

例2 数域F上的一元多项式环F[x]是一个欧氏环。

定理１任何欧氏环I一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。

定理2 整数环是一个主理想环，因而是一个唯一分解环。

引理假定I[x]是整环I上的一元多项式环，I[x]的元g(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a0的最高系数a n是I的一个单位，那么I[x]的任意多项式f（x）都可以写成f(x)=g(x)q(x)+r(x) （q(x),r(x)∈I[x]）的形式，这里或是r(x)=0或是r(x)的次数小于g(x)的次数n。

推论假定F[x]是域F上的一元多项式环，F[x]的元g(x)0≠,那么F[x]的任意多项式f(x)都可以写成f(x)=g(x)q(x)+r(x) (q(x),r(x)F∈[x])的形式，这里或是r(x)=0或是))r∂<∂。

gx(x((())定理 3 一个域F上的一元多项式环F[x]是一个欧氏环。

例3 高斯整数环Z[i]是一个欧氏环。

§5、多项式环的因子分解在本节中，I 是唯一分解环。

一、本原多项式定义 ∈)(x f I[x ]叫做一个本原多项式，假如f (x )的系数互素。

（A ） I 的单位是I [x ]的仅有的单位。

（B ） 一个本原多项式不会等于零。

（C ） 如果本原多项式f (x )可约，那么f (x )可写成f (x )=g (x )h (x )这里g (x )和h (x )的次数都大于零，因而都小于f (x )的次数。

（D ） I [x ]的非零多项式()x f 可以写成())(0x af x f =的形式，其中f 0(x )是本原多项式，I a ∈ （E ）∈p I 是I [x ]的不可约多项式⇔p 是I 的素元。

p (x )∉I 是I [x ]的不可约多项式⇔p (x )是I [x ]的不可约本原多项式。

引理1 （高斯引理）假定f (x )=g (x )h (x ),那么f (x )是原本多项式，当且只有g (x )和h (x )都是本原多项式。

以下用Q 表示唯一分解环I 的商域。

引理 2 Q [x ]的每一个不等于零的多项式f (x ) 都可以写成f (x )=()x f a b0的样子，这里a ,b )(,0x f I ∈是I [x ]的本原多项式。

若是g 0(x )也有f 0(x )的性质，那么g 0(x )=()x f 0ε (ε是I 的单位)引理3 I [x ]的一个本原多项式f 0(x )在I [x ]里可约()x f 0⇔在Q [x ]里可约。

引理4 I [x ]的一个本原多项式f 0(x )在I [x ]里有唯一分解。

二、唯一分解定理1 若I 是唯一分解环，那么I[x ]也是。

定理 2 若I 是唯一分解环，那么I []n x x x ,,21也是，这里n x x x ,,21是I 上的无关未定元。

艾森斯坦判断法 设()[]x I x a x a a x f nn ∈+++= 10,如果存在I 的素元p ，使（i ）n a p ; (ii)p i a ,i ∀<n ;(iii)02a p 那么f (x )在Q [x ]里不可约。

§6、因子分解与多项式的根在本节中，I 是整环。

一、根与一次因式的关系定义 I a ∈叫做f (x )][x I ∈的一个根，假如f (a )=0定理1 a 是f (x )的一个根⇔)(x f a x -定理2 I 的k 个不同的元k a a a ,,21都是f (x )的根)()())((21x f a x a x a x k ---⇔推论 若f (x )的次数是n ,那么f (x )在I 里至多有n 个根。

二、重根、导数定义 I a ∈叫做f (x )的一个重根，假如()k x f a x k),(-是大于１的整数。

定义 多项式f (x )=0111a x a x a x a n n n n ++++--的导数指的是多项式1211)1()(a x a n x na x f n n n n ++-+='--- 定理３ f (x )的一个根a 是一个重根⇔)(x f a x '-推论 假定I [x ]是唯一分解环，I 的元a 是f (x )的一个重根的充要条件是：x -a 能整除f (x )和()x f '的最大公因子。

利用定理１及本原多项式性质，可得如下结论：假定I 是唯一分解环。

[]x I a x a x a x f n n n ∈+++=- 110)(,若∈vuQ 是f (x )的一个根，这里u ,v 是I 中互素的元，Q 是I 的商域。

那么(i);,0n a u a v(ii)f (x )=)(x q v u x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-,这里q (x )[]x I ∈。