φQRPOyEφAφB C24、在半径为R 的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。

一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD 方向经P 点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。

A D⑴如果粒子恰好从A 点射出磁场，求入射粒子的速度。

⑵如果粒子经纸面内Q 点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为φ（如图）。

求入射粒子的速度。

24、⑴由于粒子在 P 点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在 AP 上，AP 是直径。

设入射粒子的速度为 v1v2m1=qBv1 d / 2qBd φ QR/ R解得：v1 =2m P DA O/ O⑵设 O/是粒子在磁场中圆弧轨道的圆心，连接O/Q，设O/Q＝R/。

由几何关系得：∠OQO/=OO/=R/+R -d由余弦定理得：(OO/ )2=R2+R/2 - 2RR/ cos解得：R/d (2R -d )=2[R(1+ cos) -d ]设入射粒子的速度为 v，由m vR/=qvB解出：v =qBd (2R -d )2m[R(1+c os) -d]24．（17 分）如图所示，在xOy 平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y 轴向下；在x 轴和第四象限的射线OC 之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向外。

有一质量为m，带有电荷量+q 的质点由电场左侧平行于x 轴射入电场。

质点到达x 轴上A 点时，速度方向与x 轴的夹角为φ，A 点与原点O 的距离为d。

接着，质点O x 进入磁场，并垂直于OC 飞离磁场。

不计重力影响。

若OC 与x 轴的夹角也为φ，求：⑴质点在磁场中运动速度的大小；⑵匀强电场的场强大小。

24.质点在磁场中偏转90º，半径r=d sin=mv，得v=qBd sin；qB mv23 2 y 0a yEφAφB φdCy P v 0QOM由平抛规律，质点进入电场时 v 0=v cos φ，在电场中经历时间 t=d /v ，在电场中竖直位移 h = dtan= 1 ⋅ qE⋅ t 2 ，由以上各式可得qB 2d E =msin 22 mhOx3 cos25．（18 分）如图所示，在第一象限有一匀强电场，场强大小为E ，方向与 y 轴平行；在 x 轴下方有一匀强磁场，磁场方向与纸面垂直。

一质量为 m 、电荷量为-q （q >0）的粒子以平行于 x 轴的速度从 y 轴上的 P 点处射入电场，在 x 轴上的 Q 点处进入磁场，并从坐标原 点 O 离开磁场。

粒子在磁场中的运动轨迹与 y 轴交于 M 点。

已知 OP=l ，xOQ=2 l 。

不计重力。

求：⑴M 点与坐标原点 O 间的距离；⑵粒子从 P 点运动到 M 点所用的时间。

⎛ 25．⑴MO=6l ⑵ t =⎝ ⎫ + 1⎪ 2⎭33、（2009 年宁夏卷）25．如图所 示，在第一象限有一均强电场，场强大小为 E ，方向与 y 轴平行；在 x 轴下方有一均强磁场，磁场方向与纸面垂直。

一质量为 m 、电荷量为-q(q>0)的粒子以平行于x 轴的速度从y 轴上的P 点处射入电场，在 x 轴上的 Q 点处进入磁场，并从坐标原点 O 离开磁场。

粒子在磁场中的运动轨迹与 y 轴 交于 M 点。

已知 OP= l , OQ = 2 3l 。

不计重力。

求（1）M 点与坐标原点 O 间的距离；（2）粒子从 P 点运动到 M 点所用的时间。

【解析】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，在 y 轴负方向上做初速度为零的匀加速运动，设加速度的大小为 a ；在 x 轴正方向上做匀速直线运动，设速度为v 0 ，粒子从 P 点运动到 QqE点所用的时间为t 1 ，进入磁场时速度方向与 x 轴正方向的夹角为，则 a =m①t 1 =②v =x 0 ③t 1其中 x = 2 3l , y = l 。

又有tan=at 1④2ml qE 3v6联立②③④式，得= 30︒因为 M 、O 、Q 点在圆周上， ∠MOQ =90︒ ，所以 MQ 为直径。

从图中的几何关系可 知。

R = 2 3l ⑥MO = 6l ⑦（2）设粒子在磁场中运动的速度为v ,从 Q 到 M 点运动的时间为t 2 ,则有v v 0 ⑧cost =R ⑨2v带电粒子自 P 点出发到 M 点所用的时间为t 为t = t 1 + t 2⑩⎛ 3 ⎫ 2ml 联立①②③⑤⑥⑧⑨⑩式，并代入数据得t = 2 + 1⎪⎪ qE⑾⎝ ⎭25．(18 分)a a 如图所示，在 0≤x≤a 、o≤y≤范围内有垂直手 xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度2 2大小为 B 。

坐标原点 0 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为 m 、电荷量为 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xy 平面内，与 y 轴正方向 的夹角分布在 0 ～ 900 范围内。

己知粒子在磁场中做圆周运动的半径 介于 a ／2 到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。

求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(1) 速度的大小：(2) 速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦。

aqB 【答案】（1） v = (2 - ) 2 m （2） si n = 10命题点 10：带电粒子在组合场中的运动——电场中的加速、偏转；磁场中的圆周运动07—25．（18 分）飞行时间质谱仪可以对气体分子进行分析。

如图所示，在真空状态下，脉冲阀 P 喷出微量气体，经激光照 射产生不同价位的正离子，自 a 板小孔进入 a 、b 间的加速电场， 从 b 板小孔射出，沿中线方向进入 M 、N 板间的偏转控制区， 到达探测器。

已知元电荷电量为 e ，a 、b 板间距为 d ，极板 M 、N 的长度和间距均为 L 。

不计离子重力及进入 a 板时的初速度。

⑴当 a 、b 间的电压为 U 1 时，在 M 、N 间加上适当的电压 U 2，使 离子到达探测器。

请导出离子的全部飞行时间与比荷 K （K ＝ne /m ）的关系式。

⑵去掉偏转电压 U 2，在 M 、N6- 6 a bMPL激光束SdNL探测器=2m neU 1 a 1 L 0 磁感应强度 B ，若进入 a 、b 间所有离子质量均为 m ，要使所有的离子均能通过控制区从右侧飞出，a 、b 间的加速电压 U 1 至少为多少？25、解：⑴由动能定理： neU 1 = 1 mv 2 2n 价正离子在 a 、b 间的加速度： a 1 =neU 1 md在 a 、b 间运动的时间： t =v= d 1在 MN 间运动的时间： t 2 = v2d + L 离子到达探测器的时间：t ＝t 1＋t 2＝2KU 1⑵假定 n 价正离子在磁场中向 N 板偏转，洛仑兹力充当向心力，设轨迹半径为 R ，v 2由牛顿第二定律得： nevB = mR离子刚好从 N 板右侧边缘穿出时，由几何关系：R 2＝L 2＋(R －L /2)225neL 2B 2由以上各式得：U 1 =32m当 n ＝1 时 U 1 取最小值U min =08—25.（18 分）【2010 示例】25eL 2B 232m两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图 1、图 2 所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。

在 t =0 时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）。

若电场强度 E 0、磁q感应强度 B 0、粒子的比荷 m 均已知，且t 0 = 2πm qB 0 10π2mE ，两板间距 h = 0。

qB 2（1） 求粒子在 0～t 0 时间内的位移大小与极板间距 h 的比值。

（2） 求粒子在板板间做圆周运动的最大半径（用 h 表示）。

（3） 若板间电场强度 E 随时间的变化仍如图 1 所示，磁场的变化改为如图 3 所示，试画出粒子在板间运动的轨迹U PQ t 02 t 03 t 00 0 mv =mv h 图（不必写计算过程）。

解法一：（1）设粒子在 0～t时间内运动的位移大小为 s= 1 at 2 ①a =qE 0②又已知t= 2πm 0 10π2mE , h = 012 0 m联立①②式解得 s 1 = 1 ③ 0 qB qB 2h 5（2） 粒子在 t 0~2t 0 时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动。

设运动速度大小为 v 1，轨道半径为 R 1，周期为 T ，则v 1 = at 0 ④2qv 1B 0 = 1⑤ 联立④⑤式得 R 1 = ⑥R 1 5π2πm又T =⑦qB 0即粒子在 t 0~2t 0 时间内恰好完成一个周期的圆周运动。

在 2t 0~3t 0 时间内，粒子做初速度为 v 的匀加速直线运动，设位移大小为 s = v t + 1at 2⑧12 1 023解得 s 2 = 5h ⑨由于 s 1+s 2＜h ,所以粒子在 3t 0~4t 0 时间内继续做匀速圆周运动，设速度大小为 v 2，半径为 R 2v 2 = v 1 + at 0 ⑩2qv 2 B 0 =2○11R 2解得 R 2 =2h ○12 5π由于 s 1+s 2+R 2＜h ,粒子恰好又完成一个周期的圆周运动。

在 4t 0~5t 0 时间内，粒子运动到正极 2h 板（如图 1 所示）。

因此粒子运动的最大半径 R 2 5π。

（3） 粒子在板间运动的轨迹如图 2 所示。

09—25．（18 分）如图甲所示，建立 Oxy 坐标系，两平行极板 P 、Q 垂直于 y 轴且关于 x 轴对称，极板长度和板间距均为 l 。

第一、四象限有磁感应强度为 B 的匀强磁场，方向垂直于 Oxy 平面向里。

位于极板左侧的粒子源沿 x 轴向右连接发射质量为 m 、电量为+q 、速度相同、重力不计的带电粒子。

在 0~3t 0 时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。

已知 t =0 时刻进入两板间的带电粒子恰好在 t 0 时刻经极板边缘射入磁场。

上述 m 、q 、l 、t 0、B 为已知量。

（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）⑴求电压 U 0 的大小。

⑵求 t 0/2 时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。

⑶何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。

U 0O t-U 0图甲图乙yPlv 0 QBOlv 2 + v 2x y 5ml 0 = t v ' 2点评：本题命题点仍为带电粒子在周期性变化的电场和分立的磁场中的运动问题。

创新之处在于带电粒子在磁场中的运动情况由于进入磁场的位置不同而有所不同，这样就造成了运动情况的多样性，从而存在极值问题。