总利润 L(Q)R(Q)C(Q) 1000 0.3Q 2 0.001 Q 3 (Q 0) 令L(Q)=0,得唯一驻点Q0=200, 又L(Q0)=L (200)=-0.6＜0， 所以当日产量为Q0 =200单位时可获最大利润. L(200) =3000(元)
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2. 库存问题 假定计划期内货物的总需求为R,考虑分n次均匀 进货且不允许缺货的进货模型. 设计划期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进 货的批量为q= R n ,进货周期为t= T n ,再设每件物品 贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2, 在计划期(T天)内总费用 E由两部分组成
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若函数f(x)在点x处可导,则称 y x x y x dy lim lim x 0 y x x 0 y x y dx 为f(x)在点x处的点弹性,仍以记号eyx表示,即 x dy e yx y dx 称eyx为弹性系数． 函数的弹性(点弹性与弧弹性)反映的是因变量 对自变量变化作出的反映程度,它与所研究变量的度 量单位无关.
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弹性的经济含义 它表示因变量的相对变动对于自变量相对变动的 反映程度. •当eyx为正时,表明因变量的变化方向与自变量的 变化方向相同;
•当eyx为负时,表明因变量变化的方向与自变量的 变化方向相反.
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弹性分类 (1) 如果eyx =1,表明y与x的变动幅度相同,此时称为单 位弹性．
生活必需品的需求弹性小于1,而奢侈品的需求弹性 大于1 .
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分析销售收益与消费支出
设某商品的需求函数为Q=f(p),
销售收益函数为 R=P· Q= Pf(P) dR 边际收益为 R( P ) f ( P ) P f ( P ) dP P f ( P )[1 f ( P )] f ( P )[1 eQP ] f (P) dR (1) 若eQP＜1,则边际收益 ＞0,价格与收益呈同方向 dP 变化. 说明对低弹性商品适当提价可使销售收益增加, 同时使消费支出增加.
•可以利用限极概念来研究存款形成总额及派生存款 的创造系数．
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存款形成总额：
•最初存款 D0=R， •第一次贷放后 D1=R＋R(1-r)， •第二次贷放后 D2=R＋R(1-r)+R(1-r)2， •………………
•第N次贷放后
DN=R+R(1-r)+R(1-r)2+…+R(1-r)N
t n
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三、 其他优化问题
例9 巴巴拉小姐得到纽约市隧道管理局一份工作,她 的第一项任务是决定每辆汽车以多大速度通过隧道,可 使车流量最大.经观测,她找到了一个很好的描述平均 车速v(km／h)与车流量f(v)(辆/秒)关系的数学模型 35v f (v ) 1.6v v 2 22 31.1 试问:平均车速多大时,车流量最大?最大车流量是多少?
微积分在经济中应用
三、 极限在经济学中的应用 “存款保留率”r
•假定某家银行的最初存款为R,
•该银行最初可以发放出R(1-r)的贷款, •假设这R(1-r)的贷款全被借贷者作为活期存款存入 同自己有往来的银行中． •这份存款又被银行贷放出去,根据存款保留率,第二次 贷放的数额为R(1-r)-R(1-r)r＝R(1-r)2．…
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增长率有两条重要的运算法则：
(1) 积的增长率等于各因子增长率的和； (2) 商的增长率等于分子与分母的增长率之差． 例3 设国民收入Y的增长率为rY，人口H的增长率
Y 是rH，则人均国民收入 的增长率是rY—rH． H
1 Y H Y H Y H Y H rY rH . 解 rY Y ( ) 2 H Y H Y H H H
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三、 增长率 设某经济变量y是时间t的函数:y=f(t).单位时间 内f(t)的增长量占基数f(t)的百分比 f ( t t ) f ( t ) f (t ) t 称为f(t)从t到t+t的平均增长率．
若f(t)视为t的可微函数,则有 1 f (t t ) f (t ) 1 f (t t ) f ( t ) f (t ) lim lim t 0 f ( t ) t f (t ) t 0 t f (t ) 称为f(t)在时刻t的瞬时增长率,简称增长率,记为rf．
R(1 r )
n 1
N 1
n 1
R N 1 [1 (1 r ) ] r
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最终派生存款形成总额
R R N 1 D lim [1 (1 r ) ] N r r D 1 有 称为存款创造系数 R r
存款创造系数是存款保留率的倒数．
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二、 弹性分析 “相对改变量” x x y x “相对变化率” y x
定义1 设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义,以x, y 分别表示自变量与函数的改变量 ,称函数变动的百分比 与自变量变动的百分比之比值 y x x y y x y x 为函数 f(x )在区间 (x ,x+x)(或 [x+x,x])上的弧弹性 ,记 为eyx,即 x y e yx y x
q*
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2c2 R c1T
最优进货次数为
R c1TR n* q* 2c2
最优进货周期
T t* n*
最小总费用
2c2T c1 R
c1T 1 2c 2 R E* c2 R c1T 2c1c 2TR 2c 2 R 2 c1T
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3. 复利问题
2 t ,又 例6 设林场的林木价值是时间t的增函数V= 设在树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售 的时间．
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1. 最大利润与最小成本问题 设某种产品的总成本函数为C(Q),总收益函数为 R(Q) (Q为产量),则总利润L可表示为 L(Q)＝ R(Q)- C(Q)
假如L(Q)在(0,+∞)内二阶可导,则要使利润最大, 必须使产量Q满足条件L(Q)=0,即 R(Q)=C(Q) “最大利润原则”
表明产出的边际收益等于边际成本 还要求L(Q)=R(Q)-C(Q)＜0,即 R(Q)< C(Q) “亏损最小原则”
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单位成本(即平均成本)最小的问题
设某种产品的总成本为C(Q),则生产的平均成本为
C (Q ) C (Q ) Q
C(Q) 最小,,必须使产量Q满足条件 [C (Q)] 0
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1. 需求价格弹性
定义2 设某商品的市场需求量为Q,价格为P,需求函数 Q=f(P)可导,称 P dQ P eQP f ( P ) Q dP f (P) 为该商品的需求价格弹性,简称需求弹性． dQ 由于商品的需求量与价格成反方向变化, d P 为负值,所 以eQP为负值,为了使需求弹性系数eQP是正值,利于比较, 便在公式中加了一个负号．
平均意义上的边际,如果函数y=f(x)在点x可导,则称 f(x)= lim y (瞬时变化率)为f(x)在点x处的边际． x 0 x
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边际f(x)的经济含义:
y=f(x+x)-f(x)≈f(x)· x， 当x=1时，有 f(x)≈ y=f(x+1)-f(x)． 它近似表示当函数f(x)的自变量在x处增加一个 单位时,函数值的相应增量.边际概念实际上表明了 经济函数随自变量变化的方向与速度．
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销售收益函数
R= Pf(P) dR f ( P )[1 eQP ] 边际收益 dP dR (2) 若eQP＞1,则边际收益 ＜0,价格与收益呈反方向 dP 变化.这说明对高弹性商品适当降价可使销售收益增加, 同时使消费支出增加. dR (3) 若eQP =1,则边际收益 =0,这说明对于单位弹性商 dP 品而言,价格的微小变化对收益无明显影响,同时对消费 支出也无明显影响.
C (Q) C (Q)
表明产出的边际成本等于平均成本
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总本 函 数 为 例3 设 每 日 生 产 某 产 品 的 成 C(Q) 1000 60Q-0 .3Q 2 0.001Q 3 产品单价为 60元,问 每 日 产 量 为 多 少 时 获 可最 大 利 润 ? 解 总收益 R(Q)=PQ=60Q,
(2) 如果eyx＞1,表明y变动的幅度高于 x变动的幅度, 此时称为高弹性． (3) 如果eyx＜1,表明y变动的幅度低于 x变动的幅度, 此时称为低弹性． 如果函数y=f(x)在某区间内可导,则称 x dy x e yx f ( x ) y dx f ( x ) 为f(x)在页
c2 R E1 c2 n q 于是总费用E可表示为批量q的函数 c2 R 1 E E1 E2 c1qT q 2 最优批量q*应使一元函数E=f(q)达到极小值, dE c2 R 1 2 c1T 0 dq q 2
(1) 进货费
(2) 贮存费 q E 2 c1T 2
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例7 设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利和 为A0＋A0r＝A0(1＋r),n年后所得利息nA0r,本利和为 An=A0+nA0r=A0(1+nr)． 这就是单利的本利和计算公式． 第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的 本利和为A2＝A0(1＋r)＋A0(１＋r)r＝A0(１＋r)2，照 此计算,n年后应得本利和为 An＝A0(1＋r)n． 这就是一般复利的本利和计算公式.