L（q） TR(q) -C(q) s．t｛ q 0
利用微积分的知识，上述问题有解的充分条件存在q=q 0 ，使得 L（q 0 ）=MR —MC=0即MR=MC也就是说, 用生产一个商品能增加的收益与因此而增加的成本相等, 利润的增值等于0, 即利润不再增加了, 所以达到了最大值。我们可以得到一般性结论: 生产者以增加利润, 当边际收益等于边际成本时, 就达到了最大利润, 不能再扩大生 产了, 否则就要亏本。 （三）、弹性分析 弹性原是物理学上的概念,意指某一物体对外界力量的反应力。经济学中弹性
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(1)式
若经济变量的变化量趋于无穷小,即当△x →0 , △y →0 时,则弹性公 式为
y x y dy e = lim = · (2)式 x dx y x 0 x (1) 式称为弧弹性, (2) 式称为点弹性。弹性的经济意义为:当自变量化 为1 %时,函数变化为e%。
弹性的经济意义 [7] ：需求的价格弹性表示的是某种商品需求量对本身价格 变化的反应程度。其系数就是需求量变化的相对量对价格变化的相对量的比值，即为： 需求的价格弹性系数＝ 需求量变化的百分比／价格变化的百分比如果用Ed 表示需求 的价格弹性系数，用P 表示价格，△P 表示价格的变化量，Q，△Q 分别表示需求量及 需求的变化量，那么需求的价格弹性一般表示为： Q P Q Q Ed= = · P P Q P 一般情况下，价格与需求量成反方向变化的关系，需求的价格弹性系数是负值。 例2：设某商品的需求函数为 Q＝3000 e 0.02 p ，求价格为100 时的需求弹性并解释其经济意义。 解：Ed （ p）= Q′·
Keywords: calculus; economics; flexibility; marginal 引言：数学在经济学理论分析中的重要作用是与数学研究的内容和特点 分不开的。数学是研究现实世界数量关系的学科，而现实世界中的数量关系无时不在， 无处不在。特别是在经济现象中更加广泛，像投入量、产出量、成本、效用、价格、 价值、利率、商品量、生产量、产值、利润、消费量等。这种数量关系的分析很大程
或MC = lim
2、 边际收益 [4] : 收益函数TR(q), 当销售量达到q时, 再多销售一个单位产 品时所增加的销售收益,即为边际收益MR =
TR 或MR = q
lim
q 0
TR dTR [5] = 。 q dq
3、边际利润 [4] : 利润函数L(q), 当销售量达到q时, 再多销售一个单位产品 时所增加的利润L' (q)。利润最大化问题就可以为数学表达式 [5] ： 求max L（q）
[3]
是指经济变量存在函数关系时,因变量对自变量变动的反应程度,其大小可以用两个
变量变动的百分比之比,即弹性系数来表示。弹性的一般公式 [6] 为 弹性系数=
因变量变动的百分比 自变量的百分比
若两个经济变量之间的函数关系为Y = f (x) ,以△x 、△y 分别表示变量x 、 y 的变动量,以e 表示弹性系数,则弹性公式为 y y x y e = = · x x y x
微积分在经济学中的应用
程基尧
（巢湖学院 数学系，安徽 巢湖 238000） 摘要：微积分是高等数学的一个基础学科，是微分学和积分学的总称,它的数学思想是源远流长的 理论，微积分在经济学的分析中有着重要的地位。微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必 备知识,文章着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用。利用数学定量分析解决各领域方面 的问题己成为经济学整个理论体系中的一个重要组成部分，它使经济学走向了定量化它为解决以 “ 变量”为研究对象的问题提供了一种深刻的思考方式, 是运用定量分析探究经济学理论和管理 学问题最有效的工具， 随着现代科学技术的发展与现代管理水平的提高， 定量分析越来越广泛应用， 从而使微积分在经济领域中的作用越来越重要。因此，我们有必要加强这方面探究与学习，提高学 术水平及其现实应用。 关键词：微积分；经济学；弹性；边际
r 后的本利和即将来值B = (1 + r) 若一年分n 次计算复利,则每期利率为 n ,一年后的
t
本利和即将来值为
r n B = p (1 + n )
而t 年后的本利和即将来值为
r tn B = p (1 + n )
当n → ∞时,则t 年后的本利和即将来值为
2
r B = lim p (1 + n )
General science, and its long history of mathematical thought is the theory.Sub-calculus in economics .Analysis has an important position. Calculus ,as the foundation of mathematical knowledge,is to learn the necessary knowledge of economics, the article focused on the most basic calculus in economics of some applications. , The use of mathematical quantitative analysis to solve the economic leader Field problems the theoretical system of economics has become an important part in it to make a quantitative Economics. It is to address the "variable" for the study of the problem provides a profound way of thinking, is to use quantitative analysis to explore Economic theory and the most effective management tool, with the development of modern science and technology and modern management to improve more and more widely used in quantitative analysis, so that the calculus in the economic sphere anincreasingly important role.
表1 一年中的计息期数 1（按年计息） 2（按半年计息 4（按季计息） 12（按月计息） 365（按天计息） ∞ （按年计息） 一年后的资金总额（单位 ；元） 1060. 00 1060. 90 1061. 36 1061. 68 1061. 83 1061. 83
分析：如果一家银行同时有上述六种储蓄种类的话，那么，在实际上，如不 计后两种的微小差别，至少前四种就失去了存在的意义。因为后两种储蓄种类既给储 户带来随时取款的方便，又提高了储户的实际收益。可以断言，在什么国家这都是不 可能的。 现在引入数学计算公式：设银行存款现值p 和将来值B ,年利率为r ,则t 年
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济变量带来的影响是多少,如边际效用、边际成本、边际收益、边际利润、边际替代率 等等。这些边际概念几乎都用导数来表示。 例如 1、边际成本 [4] : 若成本函数C(q)当产量达到q时, 再各生产一个单位产品时 所增加的成本,即为 MC =
TC q TC dTC q 0 q dq
[5]
P Q
= -0.02p×3000 e 0.02 p ／3000 e -0.02p =-0.02p Ed（100）=-2 它的经济意义是：当价格为100 时，若价格增加1％，则需求减少2％。由上可知，需 求函数在点P 的需求价格弹性的经济意义是， 在价格为P 时， 如果价格提高或降低1％， 需求由Q起，减少或增加的百分数。需求价格弹性反映了当价格变动时需求量变动对价 格变动的灵敏程度。供给价格弹性和需求的价格弹性一样，供给的价格弹性表示价格 变化引起的供给量变化的反应程度。因此，供给的价格弹性系数ES 即为： ES＝ 供给量变化的百分比 价格变化的百分比 Q P Q Q = = · P P Q P 如果用ES 表示供给的价格弹性系数，用P 表示价格，△P 表示价格的变化量，Q，△Q 分别表示供给量及供给的变化量，那么供给的价格弹性一般表示为：
n
tn
= pet从而现值p 和将来值B 之间的关系为
BHale Waihona Puke B = pet 或p = e · t
若现值p 为1 ,利息r 为100 % , t = 1 ,则得 B = e 可以看出年中的计息期数越大， 储户获利越大 （容易证明， 对固定的正整数 t， 。故国外一些银行往往在年利率与别的银行一样 B p(1 t ) n t 是 n 的增函数， m ﹥0） n 的情况下增加计息期以吸引储户（但同时在别的方面如透支数额、透支计息等方面可 能多作一点限制） ” 二、一元微分学-函数、边际、弹性经济学应用 （一）、函数在经济学中的应用 需求函数 [3] ：在经济管理中，需求函数是用来表示一种商品的需求数量和影 响该需求数量的各种因素之间的相互关系的。也就是说，影响需求数量的各种因素是 自变量，需求数量是因变量。 需求函数是单调减少函数。函数式Q d = - P（ 、 均 为常数） 供给函数 [3] ：供给函数表示一种商品的供给量和该商品的价格之间存在着一 一对应的关系。供给函数是单调增加的函数。函数式Q s =- + p（ 、 均为常数） 均衡价格：均衡价格是指一种商品的需求价格和供给价格相一致时的价格， 也就是这种商品的市场需求曲线与市场供给曲线相交时的价格。某商品在价格水平下， 商品的社会需求量和商品的供给量达到平衡，在同一个坐标系中作出需求曲线和供给 q d a bP 曲线，二者相交点，称为供需平衡点。 q s c dP s d q q 成本函数 [3] ：成本函数指在技术水平和要素价格不变的条件下，成本与产出 之间的相互关系。成本理论主要分析成本函数。成本函数是一个变量为产量的函数式。 任何一项生产活动都需要投入，总成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投 入的费用总额．总成本＝固定成本十可变成本．其中固定成本指的是产量的变化而改 变的费用，如厂房费用、固定资产折旧以及行政管理费等；可变成本指的是随产量的 变化而改变的费用，如原材料、燃料、动力以及计件工资等．由此可见总成本函数是 产量( 或销量) 的函数。企业为提高经济效益降低成本，通常需要考察分摊到每个单 位产品中的成本——即平均成本，以评价企业生产经营管理状况 （二）、边际分析 经济学中的边际经济变量都是用增加某一个经济变量一单位从而对另一个经