x
( A ) e x f (e x ) f ( x)
( B ) e x f (e x ) f ( x)
( C ) e x f (e x ) f ( x)
( D ) e x f (e x ) f ( x)
答案: A .
因为 F( x) = f (e x ) (e x ) f ( x)
= e x f (e x ) f ( x)
(C ) 0
( D ) 以上都不正确
答案: C.
因为 x[ f ( x) f ( x) ] 是奇函数.
a
所以 x [ f ( x) f ( x)]dx 0 a
14
15.设 M
2
2
sinx 1 x2
cos4
xdx
,
N
2
(sin3
xcos4
x)dx
,
2
P
2
( x2sin3 x cos4
因为.
1
(e
x
ex )dx ex
1
ex
1
e e1 .
0
0
0
11.
2 0
1
sin x cos 2
x
dx
=
答案: .
4
因为.
2 0
sin x 1 cos 2
x
dx
2 0
1
1 cos 2
x
d cos
x
arctan(cos x) 2
04
22
12.若
f ( x)dx 2x2 C ,则
答案: A .
解 因为 f ( x) ( x 1)ex 所以,当 x 1时, f ( x) 0
当 x 1时, f ( x) 0
则 f ( x) 有极小值 f (1)
1
(t
1)et
dt
=
2
e
0
7
8.设 f ( x) 是连续函数,a 0 , F ( x) x2
x
f (t)dt ,
s
f
1 (u) du
0
0
t
s
0 f (u)du
s
( 令tx=u)
所以，积分 I t t f (tx)dx 只与 s 有关 0
12
13.设
x f (t)dt 2x3 ,则
2 cos xf ( sin x)dx = (
).
0
0
3 (A)
4
3 (B)
4
(C ) 2 (D) 2
答案: C.
0
1
答案: 1
因为 f ( x) 是连续奇函数, 则
1
f ( x)dx
0
f ( x)dx 0
0
1
从而
0
f ( x)dx
1
f ( x)dx 1
1
0
24
15. 若 b ln xdx 1 ,则 b = 1 答案: b 0 .或 b e
因为 ln xdx x(ln x 1) C
1
(
x10e
x
)dx
=
0
答案: e .
因为
1
(
x 10e
x
)dx
x10e x
1
e
0
0
4. lim 1 [ 1 cos 1 cos 2 1 cos n ] =
n n
n
n
n
答案: 2 2 .
因为 原式 1 1 cosxdx 1 2 cos x dx
0
0
2
( 2 2 sin x ) 1 2 2
因为 2 cos xf ( sin x)dx 2 f ( sin x)d( sin x)
0
0
2( sin x) 3 2 2 0
13
14.
a
x[ f ( x) f (x)]dx = (
).
a
a
( A ) 4 xf ( x)dx 0
a
( B ) 2 x[ f ( x) f ( x)]dx 0
x
又从 f ( x) 1 1
x
f (t)dt 可得， f (1) 1
x1
故 f ( x) ln x 1 27
1
2.求连续函数 f ( x) ,使它满足 f (tx)dt f ( x) x sin x . 0
解 因为 1 f (t x)dt 1
x
f (u)du
(令 t x u) .
xa a
则 lim F( x) = ( ).
xa
( A ) a 2 ( B ) a2 f (a) ( C ) 0 ( D ) 不存在
答案: B.
x
因为
lim
a
f (t)dt
lim
f (x)
f (a)
xa x a
xa 1
所以 lim F( x) ＝a2 f (a) . xa
8
sin 2 x
ln(1 t)dt
定积分练习题
一 、 单 项 选 择 题
1. 1exdx 与 1ex2dx 相比,有关系式( ).
0
0
( A ) 1exdx < 1ex2dx
0
0
( B ) 1exdx > 1ex2dx
0
0
( C ) 1exdx = 1ex2dx
0
0
( D ) [ 1exdx]2 = 1ex2dx
所以 b ln xdx x(ln x 1) b 1
1
1
从而得到 b 0 .或 b e
25
16.
4
e
xdx =
0
答案: 2(e2 1)
因为
4
e
xdx
2 et 2tdt
0
0
(令 x t)
2
2
t
de t
2t et
2
2
2 etdt
0
0
0
4e2 2 et 2 0
2(e2 1)
(D)
1 2
ln
2
因为
k e2xdx 1 e2x k 1 (e2k 1) 3
0
2 02
2
则 k = ln 2
11
s
12.积分 I t t f (tx)dx 与( 0
(A) s,t,x (B) s,t
)有关.
(C ) x ,t
(D) s
答案: D
因为 I t
s
t f (tx)dx t
答案: B .
因为
F ( x)
1 1 x2
1
1 (1
)2
1 x2
1 1 x2
1
1 x
2
0
x
F(x) C
则
F ( x) F (1)
11 01 t2
dt
11 01 t2
dt
2
10
11.若 k e2xdx 3 ,则 k = (
0
2
).
( A ) 1 ( B ) 2 ( C ) ln 2
答案: C .
5
6.设 f ( x) ,( x) 在点 x 0 的某邻域内连续,且当 x 0 时,
x
f ( x) 是( x) 的高阶无穷小,则当 x 0 时, f (t)sintdt 0
是 x t(t)dt 的 ( ). 0
( A ) 低阶无穷小
( B ) 高阶无穷小
( C ) 同阶但非等价无穷小
( D ) 等价无穷小
0
0
从而有: a 2 a
故 a 2
1
因此 f ( x) sin x 2
19
1
8. lim 1 0 cos t 2 dt =
x x 0
sin x
答案: 1 .
因为根据洛必塔法则
lim 1 x 0 x
0 cos t 2 dt lim
sin x
x 0
0 cos t 2 dt
sin x
x
lim cos(sin x)2 cos x 1
0
0
答案 B
由于在区间 (0,1), ex ex2
1
2.如果 f ( x) 在[1,1] 上连续,且平均值为 2,则
1
f (x)dx =(
).
1
( A )1 ( B )1 (C )4
(D)4
答案: C .
因为平均值 2 1
1
f ( x)dx
1 (1) 1
1
则 f (x)dx = 4 1
2
x
f
(x2
1)dx =
0
答案: 24 .
因为2x源自f(x21)dx
1
2 f ( x2 1)d( x2 1)
0
20
1 2( x2 1)2 2 25 1 24
2
0
23
13.
1 x5e x2dx =
1
答案: 0 .
由于被积函数是奇函数.
1
0
14.设 f ( x) 是连续奇函数,且 f ( x)dx 1,则 f (x)dx =
x)
dx ,则有
(
).
2
(A) N PM
(B) MPN
(C ) N M P
(D) P M N
答案: D.
因为根据奇偶函数的性质有:
M
2 2
sinx 1 x2
cos4
xdx
0
,
N
2
(sin3
xcos4
x)dx
2
cos4 xdx
0,
2
2
P
2