所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第 j 列
kij（i=1~n） ：在第 i 个坐标上施加的力
结论：刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生 单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
KX P (t ) 作用力方程： MX √
例2：转动运动
两圆盘
外力矩 M 1 (t ), M 2 (t )
转动惯量 I 1 , I 2
轴的三个段的扭转刚度
1
k 1 , k 2 , k 3
2
k 1
M1 (t )
k 2
M 2 (t )
k 3
I2
I1
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
建立坐标：
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
k 11
k 2 (1 2 ) k 2 (2 1 )
k 3 3
M1 (t )
I1 1
M 2 (t )
I 2 2
建立方程：
k k ( ) M (t ) I 1 1 1 1 2 1 2 1 I 2 2 k 2 ( 2 1 ) k 3 3 M 2 (t )
k13 0
k21 k2
k 31 0
T
k 22 k 2 k3 k5 k6
k32 k3
T
k 23 k3
k33 k3 k4
k3 k3 k 4 0
k1 k2 刚度矩阵： K k2 0
k2 k 2 k3 k5 k 6 k3
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 k5
P2(t)
k6
P3(t) m3
例：写出 M 、 K 及 运动微分方程 解：先只考虑静态
令 令 令
X 1 0 0 X 0 1 0 X 0 0 1
T
k1
P1(t) m1
k2
m2
k3
k4
k11 k1 k 2
k12 k 2
I1 0 k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
多自由度系统振动
主讲：周利东
太原科技大学
机械工程学院
2010-10-26
多自由度系统振动
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动
m
k 要求：对轿车的上下振动进行动力学建模 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合 建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之 间的相互影响 c
k 1
M1 (t )
M 2 (t ) 2
k
k 3
I2
I1
I1 0
k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
讨论 M
X Rn
假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移 即： X = 0
则有：
P (t ) MX
0 m11...m1 j ...m1n m1 j P 1 (t ) P (t ) m ...m ...m 0 m 21 2j 2n 2j 2 P (t ) 1 .......... .......... . 0 mnj Pn (t ) mn1...mnj ...mnn 0
k2
c2
k2
c2
m m 轮
k3何描述各个质量之间的相互耦合效应？
多自由度系统振动
教学内容
• • • • • 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
受力分析： 设某一瞬时： 角位移 1 , 2
k 11
, 角加速度 1 2
k 2 (1 2 )
k 1
M1 (t )
1
k 2
M 2 (t )
2
k 3
I2
M1 (t )
I1 1
I1
k 2 (2 1 )
k 3 3
M 2 (t )
I 2 2
m1
x1 k2
P2(t)
m2
x2 k3
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
k1
P1(t)
m1
x1
k2
P2(t)
m2
x2
k3
建立坐标：
x1 , x2 的原点分别取在 m1 , m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移
x1、x2
P2(t)
1、 2 加速度 x x
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
0 k11...k1 j ...k1n k1 j P 1 (t ) P (t ) k ...k ...k 0 k 21 2j 2n 2j 2 P (t ) 1 .......... .......... . 0 k nj Pn (t ) k n1...k nj ...k nn 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程 k5 k1
P1(t) m1 P2(t)
k6
P3(t) m3
k2
m2
k3
k4
只考虑动态
1 0 0T 令 X 0 1 0T 令 X 0 0 1T 令 X
使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产 生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第j列 结论：质量矩阵M中的元素 mij 是使系统仅在第j个坐标上产生 单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力
mij、 kij 又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的 物理意义可以直接写出矩阵 M 和 K，从而建立作用力方程，这 种方法称为影响系数方法 。
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：
例1：
1 k1 k2 x m1 0 m 0 2 k2 2 x
受力分析：
P1(t)
k1x1 k2(x1-x2)
m1
k2(x1-x2)
m2
k3x2
1 m1 x
2 m2 x
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
P1(t)
k1x1 k2(x1-x2)
m1
P2(t) k2(x1-x2)
m2
k3x2
建立方程：
1 m1 x
2 m2 x
x1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P m1 1 (t ) 力量纲 x2 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 P2 (t ) m2
例2：
可统一表示为：
K X P (t ) MX
质 量 矩 阵 加 速 度 向 量 刚 度 矩 阵 位 移 向 量 激 励 力 向 量
作用力方程
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
KX P (t ) 作用力方程： MX
• 多自由度系统的动力学方程
• • • • • 作用力方程 刚度矩阵和质量矩阵 位移方程和柔度矩阵 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 耦合与坐标变换
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 作用力方程
先看几个例子
例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力
不计摩擦和其他形式的阻尼
P1(t) k1
矩阵形式：
1 k1 k2 x m1 0 0 m 2 x2 k2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
坐标间的耦合项
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
假设作用于系统的是这样一组外力，它们使系统只在第 j 个 坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移
T T X [ x ,..., x , x , x ,..., x ] [ 0 ,..., 0 , 1 , 0 ,..., 0 ] 即： 1 j 1 j j 1 n
0 k11...k1 j ...k1n k1 j P 1 (t ) P (t ) k ...k ...k 0 k 21 2j 2n 2j 1 代入，有 ： P (t ) 2 .......... .......... . 0 k nj Pn (t ) k n1...k nj ...k nn 0
X Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？ 先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统 则： 加速度为零