（1） （2）
利用分部积分，上式左边可写为：
（3）
（ 4） 由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时 为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：
将上式代入（ 3）中，有：
式（ 2）乘 并沿梁长对 积分，同样可得到：
（ 5）
由式 (5) 、(6) 得：
（ 6）
如果 时，
频率方程为：
求得：
（ 3）当 k0=1，m1=8/9 ， m2 =1 时，系统质量阵：
系统刚度阵：
固有频率为： ，
主模态矩阵为：
主质量阵：
主刚度阵：
模态空间初始条件： ，
模态响应： ，
即： ，
因此有：
第四题（ 20 分） 一匀质杆质量为 m，长度为 L，两端用弹簧支承， 弹簧的刚度系数为 k1 和 k2。
解： 系统可以简化为二自由度振动系统，以物体
x2 为系统的广义坐标。
A 和 B 在铅垂方向的位移 x1 和
当 x1＝1，x2＝0 时，AD转角为
，
两个弹簧处的弹性力分别为
和
。对 D点取力矩平衡，有：
；
另外有
。
同理，当 x2＝ 1， x2＝1 时，可求得：
， 因此，系统刚度矩阵为：
系统质量矩阵为： 系统动力学方程为：
，则有：
上式即梁的主振型Biblioteka 于质量的正交性。再由（（ 8） 3）及（ 6）可得：
当
（7） 当
当 上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。
系统质量矩阵为：
系统动力学方程为：
频率方程为：
解出系统 2 个固有频率： ，
2、在图示振动系统中，物体 A、B 的质量均为 m，弹簧的刚度系数均为 k ，刚杆 AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求： （ 1）以 x1 和 x2 为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（ 2）系统的固有频 率方程。
（ 3）令
，代入上述动力学方程，有：
由第二行方程，解得
，代入第一行的方程，有：
，
要使得杆件只有 方向的角振动，而无 x 方向的振动，则需
，因此
。
第五题（ 20 分） 如图所示等截面悬臂梁，梁长度为 L，弹性模量为 E，横截面对中性轴的惯性矩
为 I ，梁材料密度为 。在梁的 位置作用有集中载荷
。已知梁的初始条件
在静平衡位置时 y＝0，此时系统的势能为零。 AB转角：
系统动能： m1 动能：
m2 动能：
m3 动能： 系统势能：
在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而 有：
上式求导，得系统的微分方程为：
固有频率和周期为：
2、质量为 m1 的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过 定滑轮 A 连在质量为 m2 的物块 B 上；轮心 C与刚度系数为 k 的水平弹簧相连； 不计滑轮 A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求 系统的固有频率。
解： （ 1）系统可以简化为二自由度振动系统。 当 x1＝ 1， x2＝0 时，有：
k11＝k1+k2+k4，k21＝－ k2 当 x2＝ 1， x2＝1 时，有： k22＝ k2+k3，k12＝－ k2。因此，系统刚度矩阵为：
系统质量矩阵为：
系统动力学方程为：
（ 2）当
，
时，运动微分方程用矩阵表示为：
杆质心 C 上沿 x 方向作用有简谐外部激励
。图示水平位置为静平衡位置。
（ 1）以 x 和 为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（ 2） 取参数值为 m=12，L=1，k1 =1， k2=3，求出系统固有频率；（ 2）系统参数仍取
前值，试问当外部激励的频率 而无 x 方向的振动？
为多少时，能够使得杆件只有 方向的角振动，
固有频率为：
第二题（ 20 分） 1、在图示振动系统中，重物质量为 m，外壳质量为 2m，每个弹簧的刚度系数均 为 k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（ 1）以 x1 和 x2 为广义 坐标，建立系统的微分方程；（ 2）求系统的固有频率。
解： 系统为二自由度系统。
当 x1＝ 1， x2＝0 时，有： k11＝ 2k，k21＝－ 2k 当 x2＝ 1， x2＝1 时，有： k22＝ 4k，k12＝－ 2k 因此系统刚度矩阵为：
解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物 B 的位移 x 作为系统的广义坐 标，在静平衡位置时 x＝ 0，此时系统的势能为零。
物体 B 动能：
轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为
，角速度为
，转
过的角度为
。轮子动能：
系统势能：
在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：
上式求导得系统的运动微分方程：
为：
，
。（ 1）推导梁的正交性条件；（ 2）写出求
解梁的响应
的详细过程。
（假定已知第 i 阶固有频率为 ，相应的模态函数为
，
）
提示：梁的动力学方程为： ， 为 函数。
，其中
解： （ 1）梁的弯曲振动的动力学方程为：
可写为： 代入梁的动力学方程，有：
设与 、 对应有 、 ，有： 式（ 1）两边乘以 并沿梁长对 积分，有：
解： （ 1）系统可以简化为二自由度振动系统，选 位移， q 为刚杆的角位移，如图示。
x、q 为广义坐标， x 为质心的纵向
当、
时：
，
当
、
时：
，
因此，刚度矩阵为： 质量矩阵为： 系统动力学方程： （ 2）当 m=12，L=，k1 =1， k2 =3 时，系统动力学方程为： 频率方程为： 即： 求得：
上海交通大学 2008 年振动力学期末考试试题
第一题（ 20 分） 1、在图示振动系统中，已知：重物 C 的质量 m1，匀质杆 AB 的质量 m2，长为 L， 匀质轮 O的质量 m3，弹簧的刚度系数 k。当 AB杆处于水平时为系统的静平衡位 置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。
解： 系统可以简化成单自由度振动系统， 以重物 C的位移 y 作为系统的广义坐标，
频率方程为：
即：
第三题（ 20 分） 在图示振动系统中，已知：物体的质量 m1、 m2 及弹簧的刚度系数为 k1、k2、
k3、k4。（ 1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程； （2）若 k1=k3=k4= k0， 又 k2=2 k0，求系统固有频率；（ 3）取 k0 =1 ，m1=8/9 ，m2 =1 ，系统初始位移条 件为 x1(0)=9 和 x2(0)=0 ，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。