2011年浙江省高考数学文科卷解析版一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. （1）若{1},{1}P x x Q x x =<>，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R C P Q ⊆D ．R Q C P ⊆（2）若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)i z +⋅=A ．13i +B ．33i +C ．3i -D ．3【答案】 A【解析】：22(1)1(1)z z z z i i +⋅=+=+++2112i i i =++++112113i i i =+++-=+ （3）若实数x ，y 满足不等式组250,270,0,0,x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩则3x +4y 的最小值是A ．13B ．15C ．20D ．28【答案】 A【解析】：作出可行域，25032701x y x x y y +-==⎧⎧⎨⎨+-==⎩⎩由得， min 334113z A =⨯+⨯=故选 （4）若直线l 不平行于平面a ，且l a ∉，则A ．a 内的所有直线与异面B ．a 内不存在与l 平行的直线C ．a 内存在唯一的直线与l 平行D ．a 内的直线与l 都相交 【答案】 B 【解析】：直线l 不平行于平面a ，l a ⊄所以l 与a 相交（5）在A B C ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．－12B ．12C ． －1D ．1（6）若,a b 为实数，则 “0<ab <1”是“b <a1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】 B 【解析】：A ，C 与正视图不符，D 与俯视图不符（8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是A ．110B ．310C ．35D ．910【答案】 D【解析】：无白球的概率是3335110c c=，∴至少有1个白球的概率为19111010p -=-=（9）已知椭圆22122:1x y C ab+=（a >b >0）与双曲线 222:14yC x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段A B 三等分，则 （A ）2132a =（B ）2a =13 （C ）212b =（D ）2b =2（10）设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()2f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是【答案】 D【解析】：()2f x ax b '=+，令()()x g x f x e =则()()()x x g x f x e f x e ''=+()(())xf x f x e '=+22(2)[(2)()]x xax b ax bx c e ax a b x b c e =++++=++++，因为1x =-为函数()g x 的一个极值点，所以1x =-是2(2)()0ax a b x b c ++++=的一个根，即2(2)(1)()0(2)4()0a ab bc a b a b c ++-++=⎧⎨=+-+>⎩于是0a cb =⎧⎨≠⎩，()12f a b c a b -=-+=-，22244(2)(2)b ac b a b a b a =-=-=-+()120f a b -=-=则0= 故A 、B 可能；对于D ，()120f a b -=->，0a >，则0b >于是0< 出现矛盾，不可能，故选D二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. （11）设函数k 4()1f x x =+ ,若()2f a =,则实数a =____________【答案】1- 【解析】：421211a a a=⇒-=⇒=--（12）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =___________ 【答案】1 【解析】：121212,,12k k k k m==-∴⋅=- 直线互相垂直,，即12()1,12m m⋅-=-∴=（13）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）.根据频率分布直方图推测3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是___600__________（14）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是___________.（15）若平面向量α、β 满足11αβ=≤，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角 θ的取值范围是_________________.（16）若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是___________.3【解析】：：222221()1()()12x y x y xy x y xy x y +++=⇒+-=⇒+-≤3x y ⇒+≤（17）若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =___________.【答案】4【解析】：2(4)()3nn a n n =+则112(1)(5)()2(1)(5)323(4)(4)()3n n n nn n a n n a n n n n ++++++==++于是22(1)(5)3(4)10n n n n n ++-+=-+令2100n -+>得n <<，则11n na a +>，4n <时递增，令2100n -+<得n >11n na a +<，4n ≥时递减，故4n =是最大项，即4k =三、解答题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（18）（本题满分14分）已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，02πϕ<<．()y f x =的部分图像，如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及ϕ的值； （Ⅱ）若点R 的坐标为(1,0)，23P R Q π∠=，求A 的值．【命题意图】本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识. 【解析】（Ⅰ）解：由题意得，2 6.3T ππ==因为(,)sin()3P A y A x πϕ=+在的图象上， 所以sin(,) 1.3πϕ+=又因为02πϕ<<，所以6πϕ=（Ⅱ）解：设点Q 的坐标为0(,)x A - 由题意可知03362x πππ+=，得04,(4,)x Q A =-所以连接PQ ，在2,3P R Q P R Q π∆∠=中，由余弦定理得2222221cos .22RP RQ PQPRQ RP RQ+-∠===-⋅解得23.A =又0,A A >=所以（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈，且11a ，21a ，41a 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）对*N n ∈，试比较n aaaa 2322221...111++++与11a 的大小．【命题意图】本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式，等比数列的求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力. 【解析】（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知2214111()a a a =⋅即2111()(3)a d a a d +=+，从而21a d d = 因为10,.d d a a ≠==所以故通项公式.n a na =（Ⅱ）解：记22222111,2n nnn T a a a a a =+++= 因为所以211(1())111111122()[1()]1222212nn n n T a a a -=+++=⋅=--从而，当0a >时，11n T a <；当110,.n a T a <>时（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥P A B C -中，A B A C =，D 为B C 的中点，P O ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段A D 上．（Ⅰ）证明：A P ⊥B C ；（Ⅱ）已知8B C =,4P O =,3A O =,2O D =，求二面角B A P C --的大小． 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.. 【解析】（Ⅰ）证明：由AB=AC ，D 是BC 中点，得A D B C ⊥，又P O ⊥平面ABC ，得P O B C ⊥因为P O A D O ⋂=，所以B C ⊥平面PAD ，故.B C P A ⊥ （Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM . 因为,BC PA PA ⊥⊥得平面BMC ，所以AP ⊥CM . 故B M C ∠为二面角B —AP —C 的平面角.在222,41,Rt AD B AB AD BD AB ∆=+==中得在222Rt POD PO OD ∆=+中,PD ，在R t P D B ∆中，222PB PD BD =+，所以222236, 6.PB PO O D BD PB =++==得在222,25, 5.Rt PO A PA AO O P PA ∆=+==中得又2221cos ,sin 233PA PB ABBPA BPA PA PB+-∠==∠=⋅从而故sin BM PB BPA =∠=GM = 因为222BMMCBC +=所以90B M C ∠=︒即二面角B —AP —C 的大小为90.︒（21）（本小题满分15分）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．【命题意图】本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力. 【解析】（Ⅰ）解：因为22()ln .0f x a x x ax x =-+>其中所以2()(2)()2ax a x a f x x a xx-+'=-+=-由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（Ⅱ）证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即 由（Ⅰ）知()[1,]f x e 在内单调递增，要使21()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立，只要222(1)11,()f a e f e a e ae e =-≥-⎧⎨=-+≤⎩，解得.a e = （22）（本小题满分15分）如图，设P 是抛物线1C ：2x y =上的动点.过点P 做圆2C 1)3(:22=++y x 的两条切线，交直线l ：3y =-于,A B 两点.（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离.（Ⅱ）是否存在点P ，使线段A B 被抛物线1C 在点P 处得切线平分，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【命题意图】本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分. 【解析】（Ⅰ）解：因为抛物线C 1的准线方程为：14y =-所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为：111|(3)|.44---=（Ⅱ）解：设点P 的坐标为200(,)x x ，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D . 再设A ，B ，D 的横坐标分别为,,A B C x x x 过点200(,)P x x 的抛物线C 1的切线方程为：20002()y x x x x -=-（1）当01x =时，过点P （1,1）与圆C 2的切线P A 为：151(1)8y x -=-可得17,1,1,215A B D A B D x x x x x x =-==-+≠当10-=x 时，过点P （—1,1）与圆C 2的切线P A 为：151(1)8y x -=-可得D B A D B A x x x x x x 2,1,1517,1≠+==-=17,1,1,215A B D A B D x x x x x x =-==-+≠所以2010x -≠设切线PA ，PB 的斜率为12,k k ，则2010:()PA y x k x x -=- （2） 2020:()PB y x k x x -=-（3）将3y =-分别代入（1），（2），（3）得22200000012011333(0);;(,0)2D A B x x x x x x x x x k k x k k -++=≠=-=--≠从而20012112(3)().A B x x x x k k +=-++2|3|1x k x -++=，即22222010010(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=同理，22222020020(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=所以12,k k 是方程222220000(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=的两个不相等的根，从而 22200012122202(3)(3)1,.11x x x k k k k x x ++-+=⋅=--因为02x x x B A =+所以2200012123111112(3)(),.x x x k k x k k x --++=+=即从而20022002(3)1(3)1x x x x +=+-，进而得4008,x x == 综上所述，存在点P 满足题意，点P的坐标为(。