，解得 t2 23 . 5
即点 P 的坐标为 ( 23 , 23) ，所以直线 l 的方程为 y 3 115 x 4 .
55
115
解题方法
用抛物线上的点坐标来表示 解法二：设 P (t,t 2 ) ，A (x1, x12 ) ，B (x2 , x22 ) ，由题意得直t线 方0,t程，1, x并1 寻x找2 ，到直线AB
解题方法
点斜式设出直线，难点在于
解法一：设 P (t,t 2 ) ，A (x1, x12 ) ，B (x2, x22 ) ，由题意得 t 0,t 1, x1 整 方x2理 程出，一然个后关寻于找点k的A一，元B的二坐次
设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y t2 k(x t) ，即 y kx kt t2 ，标与k的关系，然后进行有效 的表达和运算。
，解得 t2 23 . 5
即点 P 的坐标为 ( 23 , 23) ，所以直线 l 的方程为 y 3 115 x 4 .
55
115
解题方法
充分挖掘直线PM的几
何意义，从解方程角度 解法三：直线 PM 既是 APB 的平分线又满足与对边 AB出垂发直引，领所解以题A思B路P 为。等腰三 角形，即点 P 位于线段 AB 的中垂线上，进而将问题转化为“中点与垂直”问题。
x1
x2
6t t2 1
，
kCD
t2
t 4
建立方程
t2
t
4
t
6t 2
1
，解得
t
2
23 5
.
即点 P 的坐标为 ( 23 , 23) ，所以直线 l 的方程为 y 3 115 x 4 。
55
115
引申试题
引申 1：已知 C1 : x2
2 py
，C2
:
x2 a2
y2 b2
1 ，过位于 C1 上的一点 P（P
设
P (t,t 2 ) ，A (x1, x12 ) ，B (x2 , x22 ) ，则 AB 中垂线的方程为
y
x12
x22 2
1 x1 x2
(x
x1
x2 ) ， 2
从而 y 1 x x12 x22 1 也即是 MP 的方程。
x1 x2
2
因为
M（0,4，P
(t,t
2
)
，所以
MP
的方程还可写成
kt 4 t2
则
1 ，即 (t2 1)k 2 2t(4 t2 )k (t2 4)2 1 0 。
1 k2
设 PA，PB 的斜率为 k1, k2 (k1 k2 ) ，则 k1, k2 是上述方程的两根。所以
2t(t2 4)
(t2 4)2 1
k1 k2 t 2 1 , k1k2 t 2 1
浙江省2011年高考数学理科解析几何
镇海中学 张义斌
原题 呈现
题目 背景
说题
解题 方法
教学 启示
题后 反思 引申 试题
原题呈现
(2011 年浙江理 21)已知抛物线 C1 : x2 ＝ y ,圆 C2 : x2 ( y 4)2 1 的圆心为点 M.
（Ⅰ）求点 M 到抛物线C1 的准线的距离； （Ⅱ）已知点 P 是抛物线C1 上一点（异于原点），过点 P 作圆 C2 的两条切线，交抛物线C1 于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线l 垂直于 AB，求直线l 的方程.
斜率与P点坐标的联系从而 由点差法可得 kAB x1 x2 , kAP t x1, kBP t x2 ，建立t的方程。
所以直线 AP 的方程为 y t2 (t x1)(x1 t) 化简得 y (t x1)x tx1 .
因为 AP 与圆相切，所以 d
tx1 4 1 (t x1)2
y
t2
t
4
x
4
，所以
x12 x2 t2 4
2
t
7 x1
1
x2
.
从解方程的角度出发，还需寻找一个等量关系，需从直线与圆相切这个条件入手，
就是解法二中得到的
x1
x2
6t ，建立方程 t2 1
t2
t
4
t 2 1 ，解得 t 2 6t
23 5
.
即点 P 的坐标为 ( 23 , 23) ，所以直线 l 的方程为 y 3 115 x 4 。
55
115
解题方法
解法四：不妨设 P (t,t 2 ) ，A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ) ，AP,BP 与圆 C2 的切点分别为 C (x3, y3 ) ，D (x4 , y4 ) ，
所以切线 PC,PD 分别为 x3x ( y3 4)( y 4) 1， x4x ( y4 4)( y 4) 1.
题目背景
• 解析几何是高考重点题型之一，在浙江省高考 卷中所占比例一直相当稳定.
• 给出的两个条件圆的切线和垂直都是解析几何 中的常见条件.主要考查直线与抛物线、直线 与圆的位置关系问题.
• 解析几何的核心是用代数的方法研究平面几何 问题，体现了数形结合的数学思想．
• 解析几何问题旨在考查解析几何的基本思想方 法、运算求解能力和推理思维能力，在以“能 力立意”为主要命题思想的新课程高考中占有 重要的地位.
在椭圆外）
作 C2 的两条切线 PA,PB，分别设直线 AB 与 PO 的斜率为 k1, k2 ，求证 k1k2 为定值。
引申试题
引申
2：已知椭圆 C1 方程为
1，化简得 (t2 1)x12 6tx1 15 0
由对称性可得 (t2 1)x22 6tx2 15 0 .所以 x1, x2 是方程 (t2 1)x2 6tx 15 0 的两根.
所以
x1
x2
6t t2 1,
x1x2
15 t2 1
.
kMP
t2
4 t
，由 MP AB ， kAB.kMP 1
.
联立直线 y kx kt t2 与 y x2 得 x2 kx kt t2 0 ，由于 x t 是该方程的一根，
所以 x1
k1
t, x2
k2
t
.因此 kAB
x12 x1
x22 x2
x1
x2
k1 k2
2t
2t(t2 4) t2 1
2t ，
而 kMPຫໍສະໝຸດ t24 t，由 MP AB ， kAB.kMP 1
因为
P
为它们的公共点,所以
tx3 tx4
(t (t
2 2
4)( 4)(
y3 y4
4) 4)
1 1
，
由两点确定一条直线，得切点弦 CD 的方程为 tx (t2 4)( y 4) 1
因为 MP CD, MP AB ,所以 AB / / CD ,由此可得 kAB kCD .
由解法二得 kAB