绝密★考试结束前2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式 台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１．若{1},{1}P x x Q x x =<>，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R C P Q ⊆D ．R Q C P ⊆ 2．若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)z z +⋅=A ．13i +B ．33i +C ．3i -D ．3 X +2y -5≥03．若实数x ，y 满足不等式组 2x +y -7≥0，则3x +4y 的最小值是 x ≥0,y ≥0A ．13B ．15C ．20D ．28 4．若直线l 不平行于平面a ，且l a ∉，则A ．a 内存在直线与异面B ．a 内不存在与l 平行的直线C ．a 内存在唯一的直线与l 平行D ．a 内的直线与l 都相交5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．-12B ．12C ．-1D ．1 6．若,a b 为实数，则“01ab ∠∠”是“1b a∠”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是A ．B ．C ．D ．8．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 A ．110 B ．310 C ．35 D ．9109．已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与C 1C 2的长度为直径的圆相交于,A B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分，则 A ．a 2 =132 B ．a 2=13 C ．b 2=12D ．b 2=2 10．设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是A ．B ．C ．D ．非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。

二．填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．设函数k 4()1f x x=+ ,若()2f a =,则实数a =__________________。

12．若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_________________。

13．某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某此数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。

根据频率分布直方图3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_____________________。

14．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。

15．若平面向量α、β 满足11αβ=≤，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角 θ的取值范围是____________。

16．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是_________。

17．若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =__________。

三．解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，02πϕ<<.()y f x =的部分图像，如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及ϕ的值； （Ⅱ）若点R 的坐标为(1,0)，23PRQ π∠=，求A 的值.19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项11(),a a R ∈且124111,,a a a 成等比数列。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）对n N +∈，试比较2322221111...,n a a a a ++++与11a 的大小。

20．（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上. （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =.求二面角B AP C --的大小.21．（本大题满分15分）设函数22()ln ,0f x a x x ax a =-+> （I ）求()f x 的单调区间（II ）求所有实数a ，使21()e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒成立。

注：e 为自然对数的底数。

22．（本大题满分15分）如图，设P 为抛物线1C ：2x y =上的动点。

过点P 做圆2C 的两条切线，交直线l ：3y =-于,A B 两点。

（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离。

（Ⅱ）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处得切线平分，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

数学（文科）试题参考答案一．选择题：二．填空题．11．1- 12．1 13．600 14．515．]656[ππ， 16．332 17．4三．解答题18．本题主要考查三角函数的图像与性质，三角运算等基础知识。

满分14分。

（Ⅰ）解：由题意得，263T ππ==因为(1,)P A 在sin()3y A x πϕ=+的图像上，所以sin() 1.3πϕ+=又因为02πϕ，所以6πϕ=（Ⅱ）解：设点Q 的坐标为(0,x A ).由题意可知02363x πππ+=，得04x =，所以(4,)Q A -连接PQ,在△PRQ 中，∠PRQ=23π,由余弦定理得2222221cos 2.2RP RQ PQ PRQ RP RP +-∠===，解得A 2=3，又A ＞0，所以19．本题主要考查等差数列等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力。

满分14分。

（Ⅰ）解：设等差数列{a n }的公差为d,由2214111(),a a a =⋅ 得2111()(3)a d a a d +=+。

从而21a d d =因为0d ≠,所以1n d a a == 故通项公式.n a na =， （Ⅱ）解：记2222111...,n n T a a a =++因为22n a a =， 211(1())111111122(...).[1()].1222212nn n n T a a a -=+++==-- 所以，当a ＞0时，1n 1a T <；当a ＜0时，1n 1a T >。

20．本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。

满分14分。

（Ⅰ）证明：由AB=AC,D 是BC 的中点，得AD ⊥BC, 又PO ⊥平面ABC,得PO ⊥BC 。

因为PO∩AD=0，所以BC ⊥平面PAD ，故BC ⊥PA. （Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内作BM ⊥PA 于M,连CM. 因为BC ⊥PA.，得AP ⊥平面BMC ，所以AP ⊥CM.故∠BMC 为二面角B-AP-C 的平面角。

在Rt ⊿ADB 中，AB 2=AD 2+BD 2=41，得41在Rt ⊿POD 中, PD 2=PO 2+OD 2, 在Rt ⊿PDB 中, PB 2=PD 2+BD 2, 所以PB 2=PO 2+OD 2+BD 2=36，得PB=6. 在Rt ⊿POB 中, PA 2=AO 2+OP 2=25,得PA=5又2221cos ,23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅ 从而22sin BPA ∠=所以sin 42BM PB BPA =∠=同理CM 42=因为BM 2+MC 2=BC 2，所以BPA ∠=900即二面角B-AP-C 的大小为900。

21．本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理能力。

满分15分。

（Ⅰ）解：因为22()ln f x a x x ax =-+，其中0x，所以2()(2)'()2a x a x a f x x a x x-+=+=-。

由于0a，所以()f x 的增区间为（0，a ）,减区间为（a,+∞）（Ⅱ）证明：由题意得， (1)11f a c =-≥-，即a c ≥由（Ⅰ）知()f x 在[1,e]恒成立，要使21()e f x e -≤≤对[1,]x e ∈恒成立，只要222(1)11()f a e f e a e ae e=-≥-⎧⎨=-+≤⎩，解得a e =。

22．本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。

满分15分。

（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线C 1的准线方程为：1,4y =- 所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为111|(3)|.44---= （Ⅱ）解：设点P 的坐标为(x 0, x 02)，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D 。

再设A,B,D 的横坐标分别为,,A B D x x x 过点P(x 0, x 02)的抛物线C 1的切线方程为：20002().y x x x x -=- （1）当01x =时，过点P （1,1）与圆C 2的切线PA 为：151(1)8y x -=-。