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高等数学 期末模拟题
1、设级数 a n x −1 n ∞n=0在x=2处是条件收敛的，则幂级数 a n y n
∞n=0的收敛半径为 。

2、设a = 2,1,2 ,b = 4,−1,10 ,c =λb +a ,a ⊥c ,则λ= 。

3、lim x →0y →0
1+xy 1
x
= 。

4、设D.x 2+y 2≤4,且 f x,y dxdy =a,D 则 f x,y +2x 2y dxdy D
= 。

5、微分方程y ∕+2xy 2=0的通解为 。

6、幂级数 (−1)
n
n ∞n=1x n 的收敛区间是 。

7、设u =xy 2z ，M (3,2,1)，则gradu|M = ; ∂u ∂x
+
∂u ∂y
+
∂u
∂z |M
= 。

8、z=xcos （xy ），则dz| π4,π
4
= 。

9、求I= （x 2+y 2）dv Ω其中Ω是由曲面z=x 2+y 2，平面z=a （a>0）所围成的闭区域.
10、改变积分次序 dy 3
0 f （x ，y ）dx 3y
y 2= 。

11、微分方程y"—4y ˊ+3y=8e 5x 的特解可设为 。

12、幂级数 nx
n+1
∞n=1的和函数为 。

13、设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，z=f x
y ,xy,求
∂2z
∂x2
.
14、计算二次积分I=x2+y2dxdy
D
,常数a>0，其中D由y=2ax−x2,y=0围成。

15、设C是位于第一象限的半圆弧x−22+y2=4由点A(4,0)到点O（0，0）的弧段，
（1）判断曲线积分I=xe2y dx+x2e2y+1dy
C
与路径无关；（2）求I的值。

16、D是由y2=x,y+x=2所围成的闭区域，计算xydσ
D
.
17、设曲面为下半球面z=− a2−x2−y2(a>0)的下侧，试用高斯公式计算曲面积分
I=xdydz+ydzdx+zdxdy.
Σ
18、在曲面z=x2+y2上求一点M0(x0,y0,z0)，使该点处的法线垂直于平面2x+2y-z=1，并写出该法线
方程.
19、求微分方程的通解 y/+
2y
x
=
sin x
x2
.
20、制造一个容积为V的长方体得无盖箱子，问当长、宽、高各取多少时，才能使所用材料最省？
21、某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销量收入R万元与电视广告费用X万元及报纸广
告费用y万元的关系为：R（x,y）=15+14x+32y-2x2-10y2，如果提供的广告费用为2.5万元，求最佳广告策略。

22、证明：曲面xyz=a3（a>0）上任意一点处切平面在三坐标轴上的截距之积为一常数。

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