高等数学模拟试题1一、填空题 1.函数1||)3ln(--=x x y 的定义域为_____________.2..____________1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→xx x x3.曲线33)4(x x y -+=在点（2，6）处的切线方程为__________. 二、选择题1. 设)(x f 在点0x 处可导，且2)(0-='x f ,则=--→hx f h x f h )()(lim000( )21).A ( 2).B ( 21).C (- 2).D (-2. .当0→x 时, 2x 与x sin 比较是 ( ).(A).较高阶的无穷小 (B). 较低阶的无穷小 (C). 同阶但不等价的无穷小 (D).等价的无穷小3.设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标为( ) )0,1).(A ( )0,1).(B (- )4,2).(C ( )0,-2).(D ()cos(arcsin ).C (C x y += C x +arcsin ).D (三、计算题 1.计算)1ln(arctan lim3x xx x +-→ 2.设,cos ,,sin t v e u t uv z t==+=求全导数.dtdz3.求微分方程x x y y x cos =+'的通解.4.求幂级数∑∞=--121)1(n nn x n 的收敛域. 答案 一、填空题：1.分析 初等函数的定义域，就是使函数表达式有意义的那些点的全体.解 由⎩⎨⎧>->-0103|x |x 知，定义域为{}131-<<<x x x 或.2. 分析 属∞1型,套用第二个重要极限.解 1)1(11lim 1lim --⋅∞→-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e x x x x x xx .3.解 323)3(31)4(3x x x y --⋅++-=',12-='=x y ，所求切线方程为:)2(6--=-x y ,即8+-=x y . 二、选择题 1. 解 2)()1()()(lim )()(lim0000000='-=-⋅---=--→→x f hx f h x f h x f h x f h h .选).B ( 2. 分析 先求两个无穷小之比的极限,再做出正确选项.解 因0sin lim sin lim020=⋅=→→x xxx x x x ,故选(A). 3. 解 由312=+='x y 知1=x , 又01==x y ,故选(A). 三、计算题 1.分析 属型未定式,利用等价无穷小代换,洛必达法则等求之. 解 22030303111lim arctan lim )1ln(arctan limx x xxx x x x x x x +-=-=+-→→→31)1(31lim )1(3lim 202220=+=+=→→x x x x x x . 2.解tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= t t t e t t u ve t t cos )sin (cos cos )sin (+-=+-+=.3.分析 属一阶线性微分方程,先化成标准形,再套用通解公式. 解 原方程化为: x y x y cos 1=+',x x q xx p cos )(,1)(== 通解为: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰⎰--C dx xe e C dx e x q e y dx x dx x dx x p dxx p 11)()(cos )([][][]C x x x xC x xd x C xdx x x++=+=+=⎰⎰cos sin 1sin 1cos 1. 4.分析 先求收敛半径,收敛区间,再讨论端点处的敛散性,从而确定收敛区域.解 收敛半径:1)1(lim lim 221=+==∞→+∞→n n a a R n n n n , 收敛区间为(-1,1) 在1-=x 处,级数∑∑∞=∞=--=--121211)1()1(n n nn n n 收敛;在1=x 处,级数∑∞=--121)1(n n n 收敛,所以收敛域为:[-1,1].高数模拟试卷2一. 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

*1. 函数f x x xx ()=≤>⎧⎨⎪⎩⎪001在点x =0不连续是因为（ ）A. f f ()()000+≠B. f f ()()000-≠C. f ()00+不存在D. f ()00-不存在答案：Cf xx ()lim 001+=→+不存在。

2. 设f x ()为连续函数，且f x d x aa()=-⎰0，则下列命题正确的是（ ）A. f x ()为[]-a a ，上的奇函数B. f x ()为[]-a a ，上的偶函数C. f x ()可能为[]-a a ，上的非奇非偶函数D. f x ()必定为[]-a a ，上的非奇非偶函数*3. 设有单位向量ϖa 0，它同时与ϖϖϖϖb i j k =++34及ϖϖϖc i k =+都垂直，则ϖa 0为（ ） A. 131313ϖϖϖi j k ++B. ϖϖϖi j k+- C.131313ϖϖϖi j k +- D. ϖϖϖi j k-+ 解析：ϖϖϖϖϖϖϖϖϖa b c i j ki j k =⨯==+-314101ϖϖϖϖϖϖa aa i j k 0131313==+-，应选C 。

4. 幂级数()ln n n x n n ++=∞∑111的收敛区间是（ ）A. []-11，B. ()-11，C. [)-11，D. (]-11，*5. 按照微分方程通解的定义，y x "s i n =的通解是（ ） A. -++sin x c x c 12 B. -++s i n x c c 12C. s i n x c x c ++12D. s i n x c c ++12（其中c c 12、是任意常数）解析：y x c y x c x c 'c o s s i n =-+=-++112，，故选A 。

二. 填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。

6. 设f x e x x a x x ()=-≠=⎧⎨⎪⎩⎪212002为连续函数，则a =___________。

*7. 函数y x x x =+-+2312132的单调递减区间是___________。

解析：()()()y x x x x x x '=+-=+-=-+66126261222 当-<<21x 时，y '<0，故y 单调递减，故单调区间是（-2，1） 8. 设s in xx是f x ()的一个原函数，则x f x d x '()=⎰___________。

*9. 设()ft d t x x e xx()a r c t a n 0212⎰=++-，则f x ()=___________。

解析：()f xx x x xx e x x x e x x()a r c t a n a r c t a n =+++-=-+--211122212222 *10. 设kx x d x 2+∞++=⎰450π，其中k 为常数，则k =___________。

解析：k x x k d x x x k x b b b b2020045452++=++=++∞→+∞→+∞⎰⎰l i m l i m a r c t a n () =-⎛⎝ ⎫⎭⎪⇒=-⎛⎝⎫⎭⎪k k πππ2222a r c t a n a r c t a n 11. 设()z ex y =-s i n 22，则∂∂zy=___________。

*12. 微分方程x y d x y xd y 110+-+=的通解为___________。

解析：方程改写为()()x x d x y y d y 22+=+，两边积分得：1312131232321x x y y c +=++ 即()()23633221x y x y c c c -+-==() 13. 点()M 0123，，到平面x y z +--=220的距离d =___________。

*14. 幂级数()()--=∞∑1410nnn n x 的收敛区间是___________（不含端点）。

解析：()()ρ==--=→∞+→∞++l i m l i m n n nn n n nnu u 111141414，收敛半径R ==14ρ 由x -<14得：-<<35x ，故收敛区间是（-3，5） 15. 方程y y y "'-+=250的通解是______________________。

三. 解答题：本大题共13个小题，共90分。

16. 求极限lim x x x e x e →--⎛⎝ ⎫⎭⎪011。

*17. 设()()y x x x x x =+-++22212121a r c t a n a r c t a n l n ，求d y 。

解：()y x x x x x x x xx 'arctan arctan arctan =++⋅⋅+--+++2222212211111221()=+-+x x x x arctan 2211所以dy y dx x x x x dx ==+-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥'(arctan )2211 *18. 求函数y x x =-3223在区间[]-11，上的最大值与最小值。

解：函数y x x =-3223在x =0处不可导，y x x xx '()=-=-≠-110131313时令y '=0得驻点x =1，求得y y y ()()-=-==-1520012，， 于是y 在[]-11，上的最大值为y ()00=，最小值为()y -=-15219. 求不定积分sin xdx ⎰。

20. 设z zxy =(,)由方程x y z x yz 222239+++-=确定，求∂∂∂∂z x zy，。

21. 若区域D ：x y 221+≤，计算二重积分1122++⎰⎰x y d x d y D。

*22. 求过三点A （0，1，0），B （1，-1，0），C （1，2，1）的平面方程。

解：{}{}AB AC =-=120111，，，，，，平面法向量n 同时垂直于AB AC 和，于是可令{}ϖϖϖϖϖϖϖn AB AC i j ki j k =⨯=-=--+=--12011123213，，平面方程为：解：因为341nn n =∞∑是公比q =<341的等比级数从而收敛，再考察级数()-=∞∑11nn n其中()u nn n n=-=11满足①u n n u n n =>+=+1111，②lim lim n n n u n →∞→∞==1由莱布尼兹判别法知()-=∞∑11nn n 收敛，⇒级数()3411n n n n n +-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=∞∑收敛。