2019年高三教学测试（2019.9）数学 试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A A 恰好发生k 次 的概率),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n kk n n =-=- ．柱体的体积公式Sh V =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．台体的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高． 球的表面积公式 24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=， 其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知集合}i ,i ,i ,i {432=A （i 是虚数单位），}1,1{-=B ，则=B AA ．}1{-B ．}1{C ．}1,1{-D ．∅2．“b a 22=”是“b a ln ln =”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，函数)(x f （]2,1(-∈x ）的图象为折线ACB ，则不等式)1(log )(2+≥x x f 的解集为A ．}01|{≤<-x xB ．}10|{≤<x xC ．}11|{≤<-x xD ．}21|{≤<-x x4．已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-020x y x y x ，则y x z 2+=的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．55．袋中有形状、大小都相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球．从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为 A ．53 B ．43 C ．107D ．54 6．已知向量与不共线，且0≠⋅，若a c =2，则向量与的夹角为A ．2π B ．6π C ．3πD ．0（第3题图）7．如图，已知抛物线x y C 4:21=和圆1)1(:222=+-y x C ，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则CD AB ⋅的值为A ．41B ．21C ．1D ．28．若]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα．则下列结论正确的是 A ．βα> B ．0>+βα C ．βα<D ．22βα>9．已知各棱长均为1的四面体BCD A -中，E 是AD 的中点，P 为直线CE 上的动点，则｜｜｜｜DP BP +的最小值为 A ．361+B ．361+C ．231+ D ．231+ 10．已知R ,∈b a ，关于x 的不等式1|1|23≤+++bx ax x 在]2,0[∈x 时恒成立，则当b 取得最大值时，a 的取值范围为 A ．]2,423[3-- B ．]43,2[--C ．]43,423[3--D ．]2,25[--第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则俯视图的面积为 ▲ 2cm ，该几何体的体积为 ▲ 3cm ．12．已知}{n a 是公差为2-的等差数列，n S 为其前n 项和，若12+a ，15+a ，17+a 成等比数列，则=1a ▲ ，当=n ▲ 时，n S 取得最大值．（第11题图）正视图侧视图 俯视图（第7题图）13．已知函数x x x f 2sin )2cos 1()(+=（R ∈x ），则)(x f 的最小正周期为 ▲ ；当]4,0[π∈x 时，)(x f 的最小值为 ▲ ． 14．二项式636)1(xx +的展开式中，所有有理项．．．（系数为有理数，x 的次数为整数的项）的系数之和为 ▲ ；把展开式中的项重新排列，则有理项．．．互不相邻的排法共有 ▲ 种．（用数字作答）15．△ABC 中，5=AB ，52=AC ，BC 上的高4=AD ，且垂足D 在线段BC 上，H为△ABC 的垂心且AC y AB x AH +=（R ,∈y x ），则=y x▲ ．16．已知P 是椭圆1212212=+b y a x （011>>b a ）和双曲线1222222=-b y a x （0,022>>b a ）的一个交点，21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，21,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若321π=∠PF F ，则21e e ⋅的最小值为 ▲ ．17．已知R ∈λ，函数⎩⎨⎧<+-≥-=.,24,,4)(2λλλx x x x x x f 若函数)(x f 恰有2个不同的零点，则λ的取值范围为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．（本题满分14分） 已知c b a ,,分别为△ABC 三个内角C B A ,,的对边，且满足C b c B A b a sin )()sin (sin )(⋅-=-⋅+．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当2=a 时，求△ABC 面积的最大值．19．（本题满分15分） 如图,四棱锥ABCD P -中，CD AB //,AD AB ⊥，22===AB CD BC ，△PAD 是等边三角形，N M ,分别为PD BC ,的中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面PAB ； （Ⅱ）若二面角C AD P －－的大小为3π，求直线MN 与平面PAD 所成角的正切值．20．（本题满分15分） 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足132-=n n a S （∈n N *）．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设nn n a a b 23log +=，n T 为数列}{n b 的前n 项和，求证：415<n T ．（第19题图）A BCDPMN21．（本题满分15分） 已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为32，且过点)0,2(A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点)1,0(B ，设P 为椭圆C 上位于第三象限内一动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值，并求出该定值．22．（本题满分15分） 已知函数b ax x f x +-=2e )(（∈b a ,R ，其中e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）若0>a ，求函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）若函数)(x f 有两个不同的零点21,x x ．（ⅰ）当b a =时，求实数a 的取值范围； （ⅱ）设)(x f 的导函数为)(x f '，求证：0)2(21<+'x x f ．2019年高三教学测试（2019.9）数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．C ； 2．B ； 3．C ； 4．C ； 5．D ； 6．A ； 7．C ；8．D ；9．B ；10．A ．10．提示：当0=x 时，不等式显然成立． 当]2,0(∈x 时，11123≤+++≤-bx ax x ，即222x b ax x x-≤+≤--，即直线b ax y +=夹在曲线段]2,0(,22∈--=x xx y 和]2,0(,2∈-=x x y 之间．由图像易知，b 的最大值为0，此时a 的最大值为2-，最小值为3423-．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．6，8； 12．19，10； 13．2π，0； 14．32，144； 15．32；16．23； 17．)2,0(．17．提示：由已知可得λ24)(2+-=x x x f 在区间),(λ-∞上必须要有零点，故0816≥-=∆λ解得：2≤λ，所以4=x 必为函数)(x f 的零点，故由已知可得：λ24)(2+-=x x x f 在区间),(λ-∞上仅有一个零点.又λ24)(2+-=x x x f 在),(λ-∞上单调递减，所以02)(2<-=λλλf ，解得()2,0∈λ三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．（本题满分14分） 已知c b a ,,分别为△ABC 三个内角C B A ,,的对边，且满足C b c B A b a sin )()sin (sin )(⋅-=-⋅+．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当2=a 时，求△ABC 面积的最大值．18．（Ⅰ）由正弦定理C b c B A b a sin )()sin (sin )(⋅-=-⋅+等价于c b c b a b a )())((-=-+，化简即为bc a c b =-+222，从而212cos 222=-+=bc a c b A ，所以3π=A ．（Ⅱ）由2=a ，则bc bc c b ≥-+=224，故3sin 21≤=∆A bc S ABC ，此时△ABC 是边长为2的正三角形．19．（本题满分15分） 如图,四棱锥ABCD P -中，CD AB //,AD AB ⊥，22===AB CD BC ，△PAD 是等边三角形，N M ,分别为PD BC ,的中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面PAB ； （Ⅱ）若二面角C AD P －－的大小为3π，求直线MN 与平面PAD 所成角的正切值．19．（Ⅰ）取AD 中点E ，连接EN 、EM ．由于AP EN //，AB EM //，A AB AP = ，E EN EM = ，从而平面PAB //平面EMN ． 又⊆MN 平面EMN ，从而//MN 平面PAB ．（Ⅱ）法一：连接PM ．由于AD PE ⊥，AD ME ⊥，则PEM ∠是二面角C AD P --的平面角，︒=∠60PEM ，PEM ∆是边长为23的正三角形，且⊥AD 平面PEM ． （第19题图）ABCDPMNEF （第19题图）A BCDPMN又⊆AD 平面PAD ，则平面⊥PEM 平面PAD ． 过点M 作PE MF ⊥于F ，则433=MF ，⊥MF 平面PAD ，MNF ∠是直线MN 与平面PAD 所成角的平面角．由于F N ,分别是PE PD ,的中点，则4321==DE NF ，从而NF MFMNF =∠tan 3=，即直线MN 与平面PAD 所成角的正切值为3.法二：连接PM ．由于AD PE ⊥，AD ME ⊥，则PEM ∠是二面角C AD P --的平面角，︒=∠60PEM ，即PEM ∆是边长为23的正三角形，且⊥AD 平面PEM ． 又⊆AD 平面ABCD ，则平面⊥PEM 平面ABCD ．过点P 作ME PO ⊥于O ，则⊥PO 平面ABCD ． 过点O 作AD OQ //，交CD 于点Q ，则OM OQ ⊥．以点O 为原点，OP OQ OM ,,分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz O -，则)433,0,0(P ，)0,23,43(--A ，)0,23,43(-D ，)0,0,43(M ，)833,43,83(-N ，)833,43,89(-=．设平面PAD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PD n ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++0433234304332343z y x z y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==zx y 30，令1=z ，则)1,0,3(-=． 设直线MN 与平面PAD 所成角的平面角为θ，则==θsin 103，3tan =θ，即直线MN 与平面PAD 所成角的正切值为3.（第19题图）B20．（本题满分15分） 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足132-=n n a S （∈n N *）．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设nn n a a b 23log +=，n T 为数列}{n b 的前n 项和，求证：415<n T ．20．（Ⅰ）当1=n 时11=a ．当2≥n 时，⎩⎨⎧-=-=--13213211n n n n a S a S ，两式相减得：13-=n n a a ．故{}n a 是以3为公比的等比数列，且11=a ， 所以13-=n n a ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：131-+=n n n b ， 由错位相减法11021313332-++++=+++=n n n n b b b T （1） n n n n n T 313333231121+++++=- （2） 两式相减得：n n n n n n T 32522531)313131(23212⋅+-=+-+++=- ，求得：13452415-⋅+-=n n n T ． 所以415<n T ．21．（本题满分15分） 已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为32，且过点)0,2(A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点)1,0(B ，设P 为椭圆C 上位于第三象限内一动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值，并求出该定值．21．（Ⅰ）由322=c ，且2=a ，求得3=c ，所以1=b ．所以椭圆C 的方程为1422=+y x ； （Ⅱ）设),(00y x P （00<x ，00<y ），则442020=+y x ． 又)0,2(A ，)1,0(B ，所以直线PA 的方程为)2(200--=x x y y ． 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而2211||00-+=-=x y y BM M ． 直线PB 的方程为1100+-=x x y y ． 令0=y ，得100--=y x x N ，从而122||00-+=-=y x x AN N ． 所以四边形ABNM 的面积)22(248444)221()12(21||||210000000020200000+--+--++=-+⋅-+=⋅=y x y x y x y x y x x y y x BM AN S222222400000000=+--+--=）（）（y x y x y x y x 所以四边形ABNM 的面积S 为定值2．22．（本题15分） 已知函数b ax x f x +-=2e )(（∈b a ,R ，其中e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）若0>a 时，求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数)(x f 有两个零点21,x x ．（i ）如果b a =，求实数a 的取值范围；（ii ）如果)(x f 的导函数为)(x f '，求证：0)2(21<+'x x f ． 22．（Ⅰ）由题意得a x f x -='22e )(，当0>a 时，令0)(>'x f ，得2ln 21a x >，函数)(x f 的单调递增区间为)2ln 21∞+，（a ； （Ⅱ）（i ）方法一：由（Ⅰ）知，a x f x -='22e )(，当0≤a 时，0)(>'x f ,函数)(x f 在R 上单调递增，不合题意，所以0>a . 又-∞→x 时，+∞→)(x f ；+∞→x ，+∞→)(x f ，∴函数)(x f 有两个零点21,x x ，函数)(x f 在)2ln 21-a ，（∞递减，函数)(x f 在)2ln 21∞+，（a 递增，∴ 0)2ln 21(<a f ， ∴02ln 2)2ln 21(2ln <+-=a a a e a f a ，得32e a >. 方法二：如果b a =，则a ax x f x +-=2e )(，0)1(≠f ，0)(=x f 时，得)1(1e 2≠-=x x a x，令1(2-=x e x g x），222)1()1(2)(---='x e x e x g x x =22)1()32(--x x e x ． 当2311<<<x x 或时0)(<'x g ，故)(x g 在区间)1,(-∞和)23,1(上为增函数， 当23>x 时0)(>'x g ，故)(x g 在区间),23(+∞上为减函数． ∴当1<x 时0)(<x g ，当231<<x 时0)(>x g ，32)23(e g a =>； （i i ）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-00221221b ax e b ax e x x ，两式相减，得122212x x e e a x x --=， 不妨设21x x <，a e x f x -='22)(，则=+'）2(21x x f -+212x x e 122212x x e e x x --])(2[1221211212x x x x x x e e x x x x e --+-+--= 令012>-=x x t ，t t e e t t h -+-=2)（,0)(22)(<+-=--='--t t t t e e e e t h , ∴)(t h 在),0(+∞上单调递减，∴0)0()(=<h t h ，即0221<+'）（x x f ．命题人：沈志荣、张启源、邱东方、张艳宗2019年8月。