嘉兴市2018学年9月基础测试卷（9.19）高三 数学试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合},3|2||{},12|{<-=+>=x x B x x x A 则B A =（ ）A. }51|{<<-x xB. }51|{<<x xC. }1|{x x <-D. }1|{x x < 2.已知βα，都是第一象限的角，则”“βαsin sin =是”“βα=的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.已知复数i z i z 43,2121+=+=（i 是虚数单位），则下列错误的一项是（ ）A. i z z 6421+=+B. i z z 105·21+-=C.21z z <D.||||21z z <4.已知)3,0(),0,1(B A 两点，则以AB 为直径的圆的方程是（ ）A.0322=--+y x y x B. 0322=+++y x y x C.0322=-++y x y x D. 0322=+-+y x y x5.下列函数中，既是奇函数，又在）（1,0上单调递减的是（ ）A.2)(x x e e x f -+=B.2)(x x e e x f --=C.x x x f +-=11ln )(D.2211ln )(xx x f +-= 6.已知直线b a ,都不在平面内，则下列命题错误的是（ ） A.若,//,//αa b a 则α//b B.若,,//α⊥a b a 则α⊥b C.若,//,αa b a ⊥则α⊥b D.若,,α⊥⊥a b a 则α//b7.一个袋子中有5个小球，其中2个红球，3个白球，它们仅有颜色区别，从袋子中一次摸出2个小球，记其中红球的个数为ξ，则ζE =（ ）A. 4.0B. 6.0C. 8.0D. 18.在ABC ∆中，已知135cos =A ，53cos =B ，4=c ，则=a （ ）A. 12B. 15C. 720D. 7309.双曲线12222=-by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离小于它的实轴长，则该双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A. 21<<e B. 51<<e C. 2>e D. 5>e10.已知R m ∈，函数m m x x x f +--+=|13|)(在]5,2[上的最大值是5，则m 的取值范围是（ ） A. ]27,(-∞ B. ]25,(-∞ C. ]5,2[ D. ）+∞,2[非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.已知⎩⎨⎧≤>=-)0(2)0(,log )(2x x x x f x，则=)4(f _________,若4)(0=x f ，则=0x _________ 12.设0177888)12(a x a x a x a x ++++=- ,其中)8,,1,0( =i a i 是常数，则=3a ________,=+++7521a a a a _______13.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是__________,表面积是_________.14.已知向量b a ,的夹角为60.,2||,1||==b a 若)2//()(b a b a ++λ，则=λ________.若)2()(b a b a +⊥+μ，则=μ_________15.已知点)1,3(A ，抛物线x y 42=的焦点F ，点P 在抛物线上，则||||PA PF +的最小值是_________.16.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04201202y x y x y x ，则y x z 3-=的取值范围是_________.17.已知实数y x ,满足：,1422=++y xy x 则y x 2+的最大值是_______三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）已知函数23cos sin cos 3)(2-+=x x x x f （1）将)(x f 化为k x A ++)sin(ϕω（k A ,,,ϕω为常数）的形式； （2）求)(x f 的单调递增区间.19.（本题满分15分）已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，4513311,,2b a a b a b a =+===，设n n n b a c =，n S 是数列}{n c 的前n 项的和。

（1）求n a ，n b ；（2）试用数学归纳法证明：12·)43(8+-+=n n n S20.（本题满分15分）如图，ABC ∆是边长为2的正三角形，ABD ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，已知2=CD .（1）求证：平面⊥ABC 平面ABD（2）求直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值；21.（本题满分15分）已知椭圆),1(1222>=+a y a x 直线l 经过点)22,0(P 交椭圆于B A ,两点，当x l //轴时，2||=AB .（1）求椭圆方程（2）求||AB 的取值范围；22.（本题满分15分）已知函数m mx x m x x f 106)1(32)(23+---=.（R m ∈） （1）若0=m ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）若1=m ，]3,1[-∈x ，求)(x f 的值域；（3）若,0>m 且当]3,1[-∈x 时0)(≥x f ，求m 的取值范围；2018年高三基础测试 数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．A ； 5．C ； 6．C ；7．C ；8．D ；9．B ；10．A ．10．提示：13)(-+=x x x g 在]5,2[上的最大值是5，最小值是2．考虑)(x g y =→m x g y -=)(→|)(|m x g y -=→m m x g y +-=|)(|的图象变换．若0≤m ，则最大值不变；若0>m ，则当27225=+≤m 时最大值不变．故27≤m ．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．2，16或2-；12．448-，3280-； 13．37π，π)25(+； 14．21，21-； 15．4； 16．]2,3[-；17．5102．三、解答题（本大题共5小题，共74分） 18．（本题14分）已知函数23cos sin cos 3)(2-+=x x x x f ． （Ⅰ）将)(x f 化为k x A ++)sin(ϕϖ（k A ,,,ϕω为常数）的形式； （Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间． 解：（Ⅰ）23cos sin cos 3)(2-+=x x x x f x x 2cos 232sin 21+=)32sin(π+=x ．（Ⅱ）由πππππk x k 223222+≤+≤+-（∈k Z ）．得ππππk x k 262265+≤≤+-，ππππk x k +≤≤+-12125． 所以，)(x f 的单调递增区间是]12,125[ππππk k ++-（∈k Z ）．19．（本题15分）已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，211==b a ，33b a =，451b a a =+．设n n n b a c =，nS 是数列}{n c 的前n 项和．（Ⅰ）求n a ，n b ；（Ⅱ）试用数学归纳法证明：12)43(8+⋅-+=n n n S ． 解：（Ⅰ）设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为q ， 由211==b a ，得d n a n )1(2-+=，12-=n n q b ．又由33b a =，451b a a =+，得⎩⎨⎧=++=+322422222q d q d ，解得3=d ，2=q ． 所以，13-=n a n ，n n b 2=． （Ⅱ）n n n c 2)13(⋅-=．①当1=n 时，1112)413(8+⋅-⨯+=S 4=，结论成立． ②假设当k n =时，12)43(8+⋅-+=k k k S 成立，则当1+=k n 时，11+++=k k k c S S 112)23(2)43(8++⋅++⋅-+=k k k k22)13(8+⋅-+=k k 1)1(2]4)1(3[8++⋅-++=k k ，结论也成立． 综合①②，由数学归纳法可知，12)43(8+⋅-+=n n n S ．20．（本题15分）如图，△ABC 是边长为2的正三角形，△ABD 是以AB 为斜边的等腰直角三角形．已知2=CD ． （Ⅰ）求证：平面⊥ABC 平面ABD ；（Ⅱ）求直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值．ABCD（第20题）解：（Ⅰ）取AB 中点O ，连OC 、OD ， 则AB OC ⊥，AB OD ⊥，所以COD ∠是二面角D AB C --的平面角． 在△OCD 中，因为3=OC ，1=OD ，2=CD ， 所以︒=∠90COD ．所以，平面⊥ABC 平面ABD ．（Ⅱ）建立空间直角坐标系（CBD O -）．则)0,1,3(=AC ，)0,1,3(-=BC ，)1,1,0(-=BD ． 设),,(z y x n =是平面BCD 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-=⋅003z y BD n y x BC n z y x ==⇒3，取)3,3,1(=n ． 则|,cos |><n AC ||||||n AC n AC ⋅=7217232=⨯=，即为所求．21．（本题15分）已知椭圆1222=+y a x （1>a ），直线l 经过点)22,0(P 交椭圆于B A ,两点．当x l //轴时，2||=AB ．（Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）求||AB 的取值范围．解：（Ⅰ）当x l //轴时，B A ,的坐标是)22,1(±． 所以12112=+a，22=a ，故椭圆方程为1222=+y x ．（Ⅱ）当x l ⊥轴时，2||=AB ． 一般地，设l ：22+=kx y ，),(11y x A ，),(22y x B ． ABCD（第20题）xyOz由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)12(212222kx y y x 0122)12(22=-++⇒kx x k ． )14(4)12(48222+=++=∆k k k ，1222221+-=+k k x x ，121221+-=k x x ． ||1||212x x k AB -+=121421222++⋅+=k k k 2222)12()14)(1(2+++=k k k ． 令t k =+122，则1≥t ，2)12(212||t t t AB -⋅+=)21)(11(2-+-=t t ． 因为110≤<t ，所以223||2≤≤AB ．（当211=t ，即2=t 时，223||max =AB ） 故，223||2≤≤AB ． 22．（本题15分）已知函数m m x x m x x f 106)1(32)(23+---=（∈m R ）． （Ⅰ）若0=m ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）若1=m ，]3,1[-∈x ，求)(x f 的值域；（Ⅲ）若0>m ，且当]3,1[-∈x 时0)(≥x f ，求m 的取值范围． 解：（Ⅰ）若0=m ，则2332)(x x x f +=，5)1(=f ．x x x f 66)('2+=，12)1('=f ．所以曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程是： )1(125-=-x y ，即0712=--y x ．（Ⅱ）若1=m ，则1062)(3+-=x x x f ，66)('2-=x x f ． 令0)1)(1(6)('=-+=x x x f ，得11-=x ，12=x ． x 1-)1,1(-1 )3,1(3 )('x f0 − 0 + + )(x f极大值14递减极小值6递增46所以，)(x f 的值域是]46,6[．（Ⅲ）m m x x m x x f 106)1(32)(23+---=，m x m x x f 6)1(66)('2---=． 令0))(1(6)('=-+=m x x x f ，得11-=x ，m x =2．所以)(x f 在),1(m -上单调递减，在),(+∞m 上单调递增． 因为当]3,1[-∈x 时0)(≥x f ，所以 ①若30<<m ，则0)()(min ≥=m f x f ．由=)(m f 010323≥+--m m m ，得0)2)(5(≤-+m m m ． 所以，20≤<m ．②若3≥m ，则0)3()(min ≥=f x f ． 而=)3(f 03581≥-m ，与3≥m 不合． 故，m 的取值范围是]2,0(．。