fY ( y x) 。 y) 和
101
7. 已知随机变量 X 服从标准高斯分布，求随机变量 Y = X 2 的概率密度。 8. 已知二维随机变量 ( X 1 , X 2 ) 具有联合概率密度：
⎧e − ( x1 + x2 ) f X 1 X 2 ( x1 , x2 ) = ⎨ ⎩0
x1 > 0, x2 > 0
−α τ
cos ω0τ ； (2) RX (τ ) = be (1) RX (τ ) = 4e
−τ
−
τ2
2α 3
分别求过程 X
cos πτ + cos 3πτ ；
(2) RX (τ ) = 16e
−2 τ
− 8e
−4 τ
，分别求过程 X（t）的功率谱密度。
−3 τ
7 已知平稳过程的自相关函数 Rx (τ ) = 5 + 4e
第 7 题的图 9.设随机过程 Y (t ) = aX (t ) sin ω0t ，其中 a, ω0 皆为常数， X (t ) 为具有功率谱密度 S X (ω ) 的平稳过程， 求过程 Y (t ) 的功率谱密度 10. 平稳随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 的互功率谱密度函数为 S XY (ω ) = 求对应的互功率谱密度函数 SYX (ω ) 。 第四章 4-1 设确定性随机信号为 X (t ) = M + B cos(20t + Θ ) 其中 M、B、 Θ 是随机变量。将 X (t ) 输入到单位冲 激响应为 h(t ) = 10e
102
Y (t ) ___
_
___。
5. 已知平稳过程 X (t ) 的自相关函数为 R X (τ ) = 16 +
1 1+ 5
τ
，则其均值为
，方差
为 。 6. 若一高斯过程是宽平稳的，则必定是 ；若一个高斯过程不同时刻状态间是互不相关 的，则必定是 的（独立、不独立、不一定） 。 7. 若线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为 。 二、简答题 1. 请给出随机过程为宽平稳随机过程满足的条件。 2. 若平稳随机过程是信号电压，试说明其数字期望、均方值、方差的物理意义。 3. 给出平稳过程的自相关函数的性质。 4. 写出随机过程的两个定义。 5. 随机过程有那两个变化特性，如何理解其随机性？ 6. 叙述“狭义平稳”的定义；如何理解这个定义在实际应用中的困难？ 7. (a)随机过程的遍历性与平稳性的关系是什么？(b) 简述“狭义遍历”与“宽遍历”的关系。 三、计算题 1 设随机振幅信号为
0 和 1 码后，判断原来发送的是什么码的概率？ 即求：P ( A1 / B0 ) 、P( A1 / B1 ) 、P ( A0 / B0 )
和 P ( A0 / B1 ) 。
2. 随机变量 X 的分布律为
X P 0 0 .2 1 0 .1 2 0 .7
1 < X ≤ 1.5} ， P{ 1 ≤ X ≤ 1.5} ；③随机变量 求：① X 的分布函数 F ( x) ；② P{X ≤ 0.5} ， P{
103
9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且 各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
其它
新的二维随机变量 (Y1 , Y2 ) 是 ( X 1 , X 2 ) 的函数，满足关系：
Y1 =
X1 + X 2 X − X2 ， Y2 = 1 2 2
求：①二维随机变量 (Y1 , Y2 ) 的联合概率密度 fY1Y2 ( y1 , y2 ) ；②边缘密度 fY1 ( y1 ) 和 fY2 ( y2 ) ，说明
3 设随机过程 Y (t ) 和常数 a ，试以 Y (t ) 的自相关函数表示出另一随机过程， X (t ) = Y (t + a ) − Y (t ) 的自 相关函数。 4 设随机过程 X (t ) = A cos ω0t ， Y (t ) = B sin ω0t 。而其中 A 、 B 为相互独立的随机过程，且它们均值 为零、方差皆为 σ 。证明 Z (t ) = X (t ) + Y (t ) 是宽平稳的随机过程。
2
其中 a ， ω0 为常数， 随机相位 Θ 均匀分布于 (0, 2π ) 上。 求过程 Y (t ) 5 设随机过程 Y (t ) = a cos(ω0t + Θ) ， 的均值，方差，自相关函数及协方差。 6 设随机过程 X (t ) = a cos(ω0t + Θ) ， 其中 a ，ω0 为常数， 随机相位 Θ 均匀分布于 (0, 2π ) 上。 判断 X (t ) 是否为平稳随机过程，给出理由。 7 设随机过程 Z (t ) = X (t ) + Y ， 其中 X (t ) 是一平稳过程， Y 是与 X (t ) 无关的随机变量。 试讨论过程 Z (t ) 的遍历性。 8 如果随机过程 X (t ) = V cos 4t − ∞ < t < +∞ ，式中 V 是随机变量,其均值为 1、方差为 3。求：随机过 程 X (t ) 的均值、方差、相关函数和协方差函数。
Z (t ) = X (t ) + Y (t ) 是宽平稳的。
10 设随机信号 X (t ) = A cos(w0 t + Φ ) ，式中 A 和 Φ 为统计独立的随机变量，且 Φ 在 布，试问该信号是否具有平稳性？证明之。 第三章 平稳随机过程的谱分析 一．简答题 1 给出平稳过程的功率谱密度的性质。 2 简述功率谱密度与自相关函数的关系，写出相互转换的数学关系表达式。 3 简述互功率谱密度与互相关函数的关系，写出相互转换的数学关系表达式。 4 简述功率谱密度的采样定理。 5 什么是理想白噪声。 6 什么是带限白噪声。 7 色噪声的定义。 二．计算题 1.平稳过程 X(t)的双边功率谱密度为 S X (ω ) = 32 /(ω + 16) 。 求： （1） 该过程的平均功率 （在 1 欧负载上） ；
1.
第一章 二进制无记忆不对称信道，如图所示，传输 0，1，分别以 A0 和 A1 代表发送 0 和 1，以 3 5 B0 和 B1 代表接收 0 和 1 码，两个正确的转移概率分别为 P ( B0 / A0 ) = ， P( B1 / A1 ) = ， 6 4 1 1 两个错误的转移概率分别为 P ( B1 / A0 ) = ， P( B0 / A1 ) = ，且先验概率相等，即： 6 4 1 P ( A0 ) = P( A1 ) = ，求：①B 端接收到 0 码及 1 码的概率 P ( B0 ) 及 P( B1 ) ；②当分别收到 2
2
[0,2π ] 上均匀分
（2） ω 取值范围为（-4，4）的平均功率。
⎧ 1− ω , ⎪ 8π 2.设平稳过程 X(t)的功率谱密度为 S X (ω ) = ⎨ ⎪ ⎩ 0,
ω ≤8π
，求该过程的均方值。
其他
3.在下列函数中，试确定哪些函数是功率谱密度，哪些不是，并说明原因。
(1)
ω cos 3ω 1 ω2 (2) (3) (4) 6 2 2 2 ω + 3ω + 3 1+ ω 1 + 2ω + ω 1 − 3ω 2
Y = 3 X + 1 的分布函数。
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
−10 t
10 ， 4 + j 5ω
U (t ) 的系统的输入端，求系统输出随机信号的表达式。 −3t 4-2 已知系统的单位冲激响应 h(t ) = 5e U (t ) ，设其输入随机信号为 X (t ) = M + 4 cos(2t + Θ), (− ∞ < t < ∞ ) ，其中 M 是随机变量， Θ 是 (0,2π ) 上均匀分布的随机变量， 且 M 和 Θ 相互独立，求输出信号的表达式。
f X ( x) = ( x − mX )2 1 exp[ − ] 2σ 2 2πσ X X
求：随机变量的概率密度。
第二章 随机过程
一、填空题 1. 一个严平稳过程只要均方值有界，则它必定是 ，反之则 ；一个广义平稳的 正态过程必定是 。 2. 广义遍历的信号______ （是、 不是、 不一定是） 广义平稳随机信号； 反之， 广义平稳的随机信号_______ （是、不是、不一定是）广义遍历的随机信号。 3. 任意维的概率密度函数为高斯分布的噪声称为____ ____；而如果一个随机过程的功率谱密度是 常数，则称它为_ ___。 4. 若 对 应 任 意 两 个 时 刻 t1,t2 ， 均 有 E [ X (t1 )Y (t 2 )] = m X (t1 )mY (t 2 ) ， 则 随 机 过 程 X (t ) 与 Y (t ) ____ ____（不相关、独立、正交） ；若联合平稳过程 X (t ) 和 Y (t ) 的互相关函数 R XY (t1 , t 2 ) = 0 ，则 X (t ) 与 Y (t ) _ （不相关、独立、正交） ；若 f XY ( x, y; t1 , t 2 ) = f X ( x, t1 ) f Y ( y , t 2 ) ，则 X (t ) 与
cos 2 2τ ，求其功率谱密度
104
8.若系统的输入 X（t）为平稳随机过程，系统的输出为 Y(t)=X(t)+ X(t-T)。试着证过程 Y(t)的功率谱密度 为 S Y (ω ) = 2 S X (ω )(1 + cos ω T ) X(t) + X(t-T) 延迟 T Y(t)=X(t)+ X(t-T)