2015年湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣32．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=．8．函数y=的自变量x的取值范围是．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为，cos∠ABC=．11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9=，a2012=．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．（1）求p的取值范围．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．2015年湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．不等式的解集是（）A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3考点：解一元一次不等式组．分析：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．解答：解：由①得：x＞﹣3，由②得：x≤2，所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．故选B．点评：解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．分析：列举出所有情况，看落在直线y=﹣x+5上的情况占总情况的多少即可．解答：解：共有36种情况，落在直线y=﹣x+5上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4种情况，概率是，故选C．1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r考点：圆锥的计算；弧长的计算．专题：压轴题．分析：让扇形的弧长等于圆的周长即可．解答：解：根据扇形的弧长等于圆的周长，∴扇形弧长等于小圆的周长，即：=2πr，解得R=4r，故选D．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．解答：解：正方形中，S阴影=a2﹣b2；梯形中，S阴影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；故所得恒等式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题；压轴题．分析：由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．解答：解：由题意得，解得，∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，∴，解得：﹣3，又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1，故选B．点评：考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．二、填空题（每小题4分，共24分）6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．考点：一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：新定义．分析：根据题意可得y=3⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．解答：解：由题意得y=3⊕x=，当x≥3时，y=2；当x＜3且x≠0时，y=﹣，图象如图：，故答案为：点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=π．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，故答案为：π点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．函数y=的自变量x的取值范围是x＜﹣1或x≥4．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可．解答：解：由题意得，x2﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，解得，x＜﹣1或x≥4，故答案为：x＜﹣1或x≥4．点评：本题考查的是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为a2．考点：正多边形和圆．分析：由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积．解答：解：如图所示：∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点，∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，∵边长为a的正三角形各边三等分，∴小正三角形的边长为a，∴每个小正三角形的面积是×a×=a×a=a2，∴新的正六边形的面积=a2×6=a2；故答案为：a2．点评：此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为60°，cos∠ABC=．考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值．分析：由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC 需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB，由此得解．解答：解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；又∵∠A=∠CDB=30°，∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，∴cos∠ABC=．故答案为：60°．点评：此题主要考查了圆周角定理及其推论，半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，还考查了三角函数，掌握圆周角定理是解题的关键．11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为4．考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：将函数方程x2+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．解答：解：由x2+3x+y﹣3=0得y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，∴x+y的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9= 10，a2012=2025078．考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，则a10﹣a9=10，a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+3+4，即第n个三角形数等于1到n的所有整数的和，然后计算n=2012的a的值．解答：解：∵a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，∴a10﹣a9=10∵a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+2+3+4，…∴a2012=1+2+3+4+…+2012==2025078．故答案为：10，2025078．点评：本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解答此题的关键．三．解答题：（共52分）13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•+a=a+a=2a．当a=2时，原式=4a．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．（1）求p的取值范围．（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）根据题意得出△≥0，求出即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=1，x1•x2=p+1，整理后得出（1﹣x1•x2）2+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，代入求出即可．解答：解：（1）△=（﹣1）2﹣4（p+1）=﹣3﹣4p，当﹣3﹣4p≥0，即p≤﹣时，方程有两个实数根，即p的取值范围是p≤﹣；（2）根据根与系数的关系得：x1+x2=1，x1•x2=p+1，∵[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，∴（1﹣x1•x2）2+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，∴[1﹣（p+1）]2+1×[1﹣（p+1）]+（p+1）=9，解得：p±2，∵p≤﹣，∴p=﹣2．点评：本题考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，能正确利用知识点进行计算是解此题的关键，题目比较典型．15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）由题意设出一次函数的解析式，再根据点在直线上待定系数法求出函数解析式；（2）列出总利润的函数表达式，转化为求函数最值问题，最后求出最大利润；（3）根据利润=单件利润×批发数量，列出二次函数表达式，再运用二次函数性质解决最值问题．解答：解：（1）当0≤x＜100时，y=60；当x≥100时，设y=kx+b，由图象可以看出过（100，60），（400，40），则，，∴y=；（2）∵250＞100，∴当x=250件时，y=﹣×250+=50元，∴批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是：50×250=12500元；（3）W=（﹣x+﹣20）×x=﹣x2+x=﹣（x﹣350）2+，∴当一次性批发350件时，所获利润最大，最大利润是元．点评：本题考查了待定系数法求函数关系式以及运用函数的性质解决问题，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．16．如图，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）易知A（﹣2，0），C（1，﹣3），将A、C两点的坐标代入y=ax2+c，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM，由此可求出△ABM 和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．解答：解：（1）由题意可得：A（﹣2，0），C（1，﹣3），∵抛物线y=ax2+c（a＞0）经过A、C两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4；（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD，则BD与y轴的交点即为M点；设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵B（﹣1，﹣3），D（2，0），∴，解得，∴直线BD的解析式为y=x﹣2，当x=0时，y=﹣2，∴点M的坐标是（0，﹣2）；（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，﹣3），∵M（0，﹣2），B（﹣1，﹣3），∴MN=1，BN=1，ON=3，∴S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=（1+2）×3﹣×1×1﹣×2×2=2，∴S△PAD=S△ABM=2．∵S△PAD=AD•|y P|=2，AD=4，∴|y P|=1．当P点纵坐标为1时，x2﹣4=1，解得x=±，∴P1（，1），P2（﹣，1）；当P点纵坐标为﹣1时，x2﹣4=﹣1，解得x=±，∴P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）；故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（，1），P2（﹣，1），P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）．点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法，轴对称的性质等．当所求图形不规则时，一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求．1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；（2）如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；（3）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），∴B（3，1），若直线经过点A（3，0）时，则b=若直线经过点B（3，1）时，则b=若直线经过点C（0，1）时，则b=1①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时E（2b，0）∴S=OE•CO=×2b×1=b；（2）若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2此时E（3，），D（2b﹣2，1），∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）•（﹣b）+×3（b﹣）]=b﹣b2，∴S=；（3）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED=∠NED，又∠MDE=∠NED，∴∠MED=∠MDE，∴MD=ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，D（2b﹣2，1），对于y=﹣+b，令y=0，得x=2b，则E（2b，0），∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12，∴a=，∴S四边形DNEM=NE•DH=．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．。