河南省名校联盟2018—2019学年高三第一次联考
数 学（文科）
（本试卷考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0．5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，则1i i
－1＋＝ A ．1 B ．－i C ．i D ．－1
2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜x 2＋4x ＋4＞0}，则C R
A ＝ A ．{2}
B ．{－2}
C ．－2
D ．
3．某班有男生和女生各40人，从该班抽取男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm ）如下面的茎叶图所示，则下列说法错误的是
A ．抽取的学生中，男生身高的方差较大
B ．抽取的学生中，女生身高的均值较小
C ．抽取的女学生身高的中位数为6
D ．估计该班身高在170～179cm 的人数为36
4．双曲线22
221x y a b
－＝的两条渐近线相互垂直，且焦距为4，则其实轴长为
A ．1
B
C ．2
D ．
5．在如图所示的圆形盘中随机撒X 颗豆子，统计得到位于正方形中的
豆子共有Y 颗，据此
估计圆周率π的取值为
A ．
4Y X B ．2Y X
C ．4X Y
D ．2X Y 6．已知a ＋b ＝c ，且｜a ｜＝｜c ｜＝1，则｜b ｜的取值范围为
A ．[0，2]
B ．[0，1]
C ．[1，2]
D ．（0，2]
7．正项等比数列{n a }中，a 1＋a 3＝5，a 5－a 1＝15，则n a ＝
A ．2
B ．12n ＋
C ．2n
D ．12n －
9．一块正方形铁片按如图（a ）所示把阴影部分裁下，然后用余下的四个三角形加工成一个
无底的四棱锥，且该四棱锥的三视图如图（b ）所示，其中正视图和侧视图均为边长为3的等边三角形，则裁下的阴影部分面积为
（a ） （b ）
A ．14
B ．16
C ．18
D ．27－9．设首项不为零的等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且S 2、S 4、S 5也为等差数列，若S k ＝0，
则k ＝
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．某三角形的两条边分别为1一个内角为30°，则满足条件的三角形共有（ ）
种
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．定义在R 上的奇函数f （x ）的周期为4，且在（0，2]上的表达式为f （x ）＝1－｜x －1｜，
若方程f （x ）－k （x ＋1）＝0有三个不等实根，则正实数k 的取值范围为
A ．（13，12）
B ．（14，12）
C ．（14，13）
D ．（15，13
） 12．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2，在
其侧面ABB 1A 1上粘上一个四棱锥P —ABB 1A 1，若形成的组合体具有外接球，则该组合体的体积最大值为
A ．4
＋2 B ．4
＋2 C ．6
＋2 D ．6
＋2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．抛物线y 2＝6x 的焦点坐标是______________．
14．设f （x ）＝2
21log (1)1x x x x ⎧⎨⎩，≤，－，＞，则f （f （3））＝____________． 15．若x 、y 满足条件1242x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩
＋≥＋≤≤，则z ＝x ＋3y 的最大值为_____________．
16．函数y ＝x 2－2x ＋2的定义域和值域都为[m ，n]，则m ＋n ＝_____________．
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
函数f （x ）＝4sin （3x ＋6
π）的部分图象如图所示． （1）写出f （x ）的最小正周期及图中m ，n 的值；
（2）求f （x ）在区间[－
3π，－6π]上的最大值和最小 值．
18．（本小题满分12分）
数列{n a }的前n 项和n S ＝2n ＋1．
（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）求数列1
4n n n S a a ＋的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）
如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得AC
＝2．
（1）求证：平面ABD ⊥平面BCD ；
（2）取AB 、BC 中点M 、N ，求以M 、N 、C 、D 为顶点的三棱
锥的体积．
20．（本小题满分12分）
某商店统计了7月1日至7月10 日每天的温度t （℃）与冰淇淋日销量y （支）的数据，
得到了以下的散点图：
（1）由散点图可以看出，冰淇淋的日销量y 与温度t 呈现出一定的相关性，请你求出它
们的相关系数（精确到小数点后两位）；
（2）已知7月1日至7月10日其中有一天由于下雨导致冰淇淋销量下降，
（i ）你认为下雨的那一天的温度最有可能为多少?并说明理由；
（ⅱ）假设将（i ）中那一天的数据除去，余下的数据用可用线性回归方程：ˆy ＝253．0
＋9．5t 进行拟合，已知余下数据中温度t 的标准差为1．2，日销量y 的标准 差为12，请你以余下数据的相关系数作为依据，证实（i ）中的说法．
21．（本小题满分12分）
椭圆22
221x y a b
＋＝的左焦点为F ，坐标原点为O ，过点F 作直线交椭圆于M 、N 两点，过点O 作与MN 平行的直线交椭圆于A 、B 两点．
（1）当MN 垂直于x 轴时，有｜MN ｜＝1，｜AB ｜＝2，求椭圆标准方程；
（2）在第（1）问所求椭圆方程的条件下，求证2
AB MN 为定值，并求出该定值．
22．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）＝（x ＋a ）lnx －x ．
（1）当a ＝－e 时，讨论f （x ）的单调性；
（2）若f （x ）有极大值，求实数a 的取值范围．。