6
……
3 P( 6) 4
6
=0.1780
列成分布表为
0 1 2 3 4 5 6 P 0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780
例2 10部机器各自独立地工作，因修理调整等原因， 每部机器停车的概率为0.2，求同时停车数目的分 布。
所以 (n 1)p 1 k0 (n 1)p
即 (n 1)p或(n 1)p-1 当(n 1)p是整数时 k0 [(n 1)p] 其它
其中[(n+1)p]表示(n+1)p的整数部分。
例4 某批产品80％的一等品，对它们进行重复 抽样检验，共取出4个样品，求其中一等品数 的最可能值k0 ,并用贝努里公式验证。
解：服从二项分布，n=4,p=0.8
(n 1)p (4 1) 0.8 ＝4
k0=4或3
用贝努里公式算出的分布表
0 1 2 3 4 P 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096
＝3或＝4时，概率最大。
将不等式 (n 1)p 1 k0 (n 1)p 改写为
p 1 k0 p p p n n n
p
p
p
k0 n充分大时， p n
频率为概率的可能性最大
(五)超几何分布
例5 袋中有20个小球，其中5个白球， 15个黑球， 任取4球，求取到的白球数的分布。
解：可取0，1，2，3，4等5个值。
k 4k C5 C15 P( k) C4 20
3 例1 某工厂每天用水量保持正常的概率为 ， 4 求最近6天内用水量正常的天数的分布。
解：设最近6天内用水量保持正常的天数为 它服从二项分布，其中n＝6，p 0.75
1 P( 0) =0.0002 4
1 3 1 P( 1) C6 =0.0044 4 4 5
=0.0988
直接计算二项分布的期望与方差较麻烦。
若服从二项分布
则 ＝1 2 ... n
其中1，...,n相互独立，且服从同一0-1分布
即
i
0
1
P 1 p p
因Ei p
Di pq
q 1 p
E E1 Βιβλιοθήκη .. En np D D1 ... Dn npq
D npq
二项分布中使概率P(=k)取最大值的k， 称为二项分布的最可能值，记为k 0
若P(=k0 )为最大，则 P( k0 ) P( k 0 1) P( k 0 ) P( k 0 1) (1) (2)
由(1)式
n! n! p k 0 q n k 0 pk0 1q n k0 1 k 0 !(n k 0 )! (k 0 1)!(n k 0 1)!
解：服从二项分布
n=10 p=0.2
k P( k) C10 0.2k0.810k
k 0,1,...,10
将计算结果列成分布表
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.11 0.27 0.30 0.20 0.09 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
做n重贝努里试验，以表示某事件A发生的 次数，则
k nk P( k) Ck p q n
k 0,1,..., n
其中0<p<1,q=1-p
称服从参数为n,p的二项分布。 简记为 : B(n,p)
由二项展开公式
k k n k n C p q ( p q ) 1 n k 0 n
第四章 几种重要的分布
§1 重要的离散型分布
(一)0-1分布
0
1
D pq
P 1 p p
E p 其中q 1 p
(二)离散型均匀分布
P 1 1 n 2 ... n 1 1 ... n n
1 1 1 E 1 2 ... n n 1 n n n 2 1 1 1 2 2 2 2 E 1 2 ... n n n n 1 1 n( n 1)( 2n 1) ( n 1)( 2n 1) 6 n 6 2 (n 1)(2n 1) n 1 n 2 1 D 6 2 12
k=0,1,2,3,4 经计算列出概率分布表。
0 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0010
例6 一批产品有20件，其中有3件废品，从中任取4件， 求取到的废品数的分布律。 4 C17 解：P( 0) 4 0.4912 C20 3 C1 C P( 1) 3 4 17 0.4211 C20
例3 一批产品的废品率p=0.03，进行20次重复抽样， 求出现废品的频率为0.1的概率。
解：表示20次重复抽样中废品出现的次数， 服从二项分布
n=20 p=0.03
k 20k P( k) Ck ( 0 . 03 ) 0 . 97 20
P 0.1 P( 2) 20 2 18 C2 ( 0 . 03 ) 0 . 97 20
(三)几何分布
在一个贝努里试验中， 每次事件 A发生的概率为 p, 试验
进行到 k次A才发生（即前 k 1次 A发生），设 X为A发生时 试验的次数，则： 概率函数
P( X x ) pq x 1 , x 1 , 2
其中 0 p 1, p q 1,
(四)二项分布
化简得 (n k0 1)p k0q
k 0 (n 1)p
由(2)式
n! n! k0 n k0 p q pk0＋1q n k0 1 k 0 !(n k 0 )! (k 0 1)!(n k 0 1)!
化简得 (k0 1)q (n k0 )p
k 0 (n 1)p 1
