二次根式知识点归纳和题型归类
一、知识框图
二.知识要点梳理
知识点一、二次根式的主要性质：
1.；
2.；
3.；
4.积的算术平方根的性质：；
5. 商的算术平方根的性质：.
6.若，则.知识点二、二次根式的运算
1．二次根式的乘除运算
(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.
(2) 注意每一步运算的算理；
(3) 乘法公式的推广：
(4)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
2．二次根式的加减运算需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

3．二次根式的混合运算
(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；
(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
(3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数．
4.简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
○1因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．
○2因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
三.典型题训练
一. 利用二次根式的双重非负性0
≥
a（a≥0），
1.下列各式中一定是二次根式的是（）。

A、3
-；B、x；C、1
2+
x；D、1
-
x
2.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1）（2）
1
2
1
+
-
x
（3）
4
5
+
+
x
x
（4）
（5）(6). （7）若1
)1
(-
=
-x
x
x
x，则x的取值范围是
（8）若
1
3
1
3
+
+
=
+
+
x
x
x
x，则x的取值范围是。

3.若1
3-
m有意义，则m能取的最小整数值是；
若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
1
2
1
3
-
+
-
x
x
4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。

5.
若2004a a -=，则2
2004a -=_____________； 若433+-+-=
x x y ，则=+y x
6．设m 、n 满足3
2
9922-+-+-=
m m m n ，则mn = 。

7．若m
=m 的值．
8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442
-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 9.已知ABC △的三边a b c ，，
满足22|1022a b a ++=+，则ABC △为（ ） 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<<m B 、2≥m
C 、2<m
D 、2≤m
二．利用二次根式的性质（2a =|a |） 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）
A.x ≤0
B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ） A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a - 3.若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ）
A 、x 为任意实数
B 、1≤x ≤4
C 、x ≥1
D 、x ≤4
4.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=
5. 当-3<x<5时，化简25109622+-+++x x x x = 。

6、化简)0(||2
<<--y x x y x 的结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y - 7、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。

A 、0=a ； B 、1=a ； C 、0=a 或1； D 、1≤a
8、化简2
1)2(---x x 的结果为（ ） A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--
x D 、x --2
三．二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0），即||2a a =以
及混合运算法则） （一）化简与求值
1.把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2
255m （4）224y x x +
2.下列哪些是同类二次根式：（1）75，
271，12，2，501，3，10
1；
（2）,533c b a 323c b a ，
4
c ab ，a bc a
3.计算下列各题：
（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅； （3）a c c b b a 53654⋅
⋅ （4）24
18
2
（5）－545321÷ （6）)(23522c
ab c b a -÷
4.计算（1）25051122183133++-- （2）)25
4414()31
91(3323y
y x x
y y x x +-+
5．已知10182
22
=++x x x
x
，则x 等于（ ）
A ．4
B ．±2
C ．2
D ．±4
6.
2
11+＋
321+＋
4
31+＋…＋
100
991
+
（二）先化简，后求值：
1. 直接代入法：已知),57(21+=x ),57(21-=y 求(1) 22y x + (2) y x
x y +
2.变形代入法：
（1）变条件：①已知：1
32-=x ，求12
+-x x 的值。

②.已知:x =2
323,2323-+=+-y ，求3x 2－5xy +3y 2的值
③已知21915-=+-+x x ，求x x +++1519
（2）变结论：
①设 3 =a ，30 =b ，则0.9 = 。

②
已知：11a a +=2
21a a
+的值。

③.已知12,12+=-=y x
，求
xy
y x x y y x 33++++
④若315,35-=-=+xy y x ，求y x +的值。

⑤已知5=+y x ，3=xy ，（1）求
x y
y x
+的值 （2）求y
x y x +-的值.
五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题
1.估算31－2的值在哪两个数之间（ ）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3
3.若a ，b 为有理数，且8+18+8
1=a+b 2，则b a
= .
4.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值
六．二次根式的比较大小
（1）322005
1和 （2）－5566-和 （3）13151517--和
（4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（ ） A. c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D. a c b >>
七．实数范围内因式分解：
1. 9x 2－5y 2
2. 4x 4－4x 2＋1
3. x 4+x 2－6
20. 已知：,x y 为实数，且311+-+-≤x x y
，化简：3y --
21. 已知
()1
1
039
32
2++=+-+-y x x x y x ，求
的值。

二次根式强化训练与复习巩固
1．化简：______；2．当______时，．
3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．
6．分母有理化：（1）_____；（2）______；（3）______．7．已知，，，那么________．
8．计算_________．
9．如果，那么的值为___________．
10．若有意义，则的取值范围是___________．
11．下式中不是二次根式的为（）
A．；B．；C．；D．
12.计算得___________．
13.若，则化简等于___________．
14．化简的结果是___________．
15．计算___________．
16．把式子中根号外的移到根号内，得___________．
17．等式成立的条件是___________．18．的值为___________．
19．若代数式有意义，则的取值范围是___________．
三、计算与化简：（每小题2分，共16分）
（1）（2）（3）（4）
（5）（6）（7）（8）
（9）（10）
1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。

3．已知、是实数，且，求的值．
4．有一种房梁的截面积是一个矩形，•且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3 cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？。