集合本章框架123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{x A A = ∅=∅ B A ⊆A B B ⊆B{x A A = A ∅= B A ⊇B B ⊇⑴ （交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ=== 等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)例1：全集U R =，集合{|112},{|21,},M x Z x N x x k k N +=∈-≤-≤==+∈则图中阴影部分所示集合的元素共有__________个。

例2：设全集U={2，3，2a +2a-3}，A={|a+1|，2}，A C U ={5}，则a 的值为____________。

例3：已知集合{1,2}{21}M N a a M ==∈-，，则M N ⋂＝__________。

例4：记全集},,111|{N x x x U ∈<≤=则满足}9,7,5,1{}10,97531{=⋂P C U ，，，，的所有集合P 的个数是__________。

例5：已知集合{}{}221,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，则下列说法中正确的有_____________。

① .{}1,AB y y => ②.{}2A B y y => ③.{}21A B y y ⋃=-<< ④.{}21A B y y y ⋃=<>-或例6：设全集为R ，}3x 3|x {B }5x 3x |x {A <<-=><=，或，则下列说法中正确的有_____________。

.R B A R C = ②. R B A R C = ③. R B A R R C C =④ R B A =例7：设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为____________。

例8：03)1(4)54(22>+-+-+x k x k k 对任何实数x 都能成立，则关于x 的方程0108)2(2232=-+-+k x k x 的根分布情况为______________。

（填：两个相等的实根或两个不等的实根或无实根或不确定）例9：满足)3,}(,,,,,{},{132121≥∈⊂⊆-≠n N n a a a a a P a a n n 21,a a 21,a a 的集合P 共有__________个。

例10：已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________.例11：2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I }8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________。

例12：已知集合}121{},0310{2-≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当∅=B A 时，实数m 的取值范围是___________。

例13：}02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，则a =_____________，m=___________。

例14：给定集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________。

例15：若集合},,012{2R x R a x ax x A ∈∈=++=中只有一个元素，则a =___________。

例16：已知集合M 与P 满足},,{c b a P M =⋃，当P M ≠时，),(P M 与),(M P 看作不同的一对，则这样的),(P M 对的个数是 .例17：. 已知集合},,023|{2R x x ax x A ∈=+-=,（1）若A 是空集，则实数a 的取值范围是 .例18：设集合M={x │m ≤x ≤m+43}，N={x │n-31≤x ≤n}，且M ，N 都是集合I={x │0≤x ≤1}的子集。

如果把b-a 称为集合{x │a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度“的最小值是______________例19：已知集合},,2|{2R x x x y y A ∈--==},,122|{2R x x x y y B ∈++==则=⋂B A . 例20：定义集合A 与B 的新运算：}|{B A x B x A x x B A ⋂∉∈∈=*且或，则=**A B A )( .例21：如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是___________例22：集合{23，-34，57，1718，86，-75，73，-1}每一个非空子集的元素乘积（单元素集取元素本身）之和为__________。

例23：1.（1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，求集合A 的所有子集的元素的和的和. （2） {1,2,3,4,5,,100}A =,求集合A 的所有子集的元素的和的和.例24：若集合},4,1{a A =，},1{2a B =，问是否存在这样的实数a 使得},2,1{2a a B A =⋃与},,1{a B A =⋂同时成立？例25：设集合},2|{a x x A ≤≤-=},32|{A x x y y B ∈+==,},|{2A x x z z C ∈==,若,BC ⊆求a 的取值范围.例26：设集合}2][|{2=-=x x x A ，}2|{<=x x B ，求B A ⋂与B A ⋃（其中][x 表示不超过实数x 之值的最大整数）例27：向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.解：赞成A 的人数为50×53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B .设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞成的学生人数为3x+1,赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .依题意(30－x )+(33－x )+x +(3x+1)=50,解得x =21.所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.例28：设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论..解：∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∵A ∩C =∅∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1①∵⎩⎨⎧+==+-+bkx y y x x 052242 ∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <2.5 ② 由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-032,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅.练习：1. 集合A ={x －1≤x ≤2}，B ＝｛x x ＜1｝,则A ∩B =______________2. 已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =________________3.若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=_____________ 4. 设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是__________ 5. 已知集合A={1,2,3，}，B={2，m ，4}，A∩B={2,3}，则m= 6. 设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A∩B={3}，则实数a =___________. 7. 集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为____________8. 已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个。