复旦大学附属中学2014-2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷（时间90分钟，满分120分）一、填空题（每小题4分，共44分）1、用列举法表示集合*6N ,Z 5A a a a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭_______.【答案】{}1,2,3,4-；【解析】由*6N 5a ∈-，则必有{}61,2,3,65a∈-，所以1,3,2,4a =-. 2、命题“若21x =，则1x =”的否命题是_______. 【答案】若21x ≠，则1x ≠；【解析】命题的否定是同时对条件与结论进行否定.3、函数21x y x -=-的定义域为_______.【答案】[)(]2,11,2-；【解析】由2220110x x x x -≤≤⎧-≥⎧⇒⎨⎨≠-≠⎩⎩，即[)(]2,11,2x ∈-，本题需注意定义域只能写成区间或是集合的形式，避免写不等式的形式.4、已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,2B =则满足A C B C =的集合C 有_______个.【答案】4;【解析】由条件A C BC =可知，()()()()B BC A C C B C A C A ⊆=⊆⊆⊆⊆，所以符合条件的集合C 的个数即为集合{}3,4的子集的个数，共4个. 5、已知,R x y +∈，且41x y +=，则xy 的最大值为_______. 【答案】116； 【解析】由基本不等式可以直接算出结果. ()21141444216x y xy x y +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭，当且仅当142x y ==时取等号. 6、已知集合{}31P x x x x =-≥-，()()(){}12340Q x x x x =+-->，则PQ =_______.【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【解析】()210313031x x x x x x ⎧-≥⎪⎪-≥-⇒-≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解之12x ≤≤,即[]1,2P =()()()12340x x x +-->结合数轴标根法，可以得到其解为()31,4,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，即Q =()31,4,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，所以P Q =31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.7、不等式()()222240a x a x ----<对R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(]2,2-；【解析】对二次项系数进行讨论①当20a -=即2a =时，不等式显然成立；②当20a -≠，欲使不等式()()222240a x a x ----<对R x ∈恒成立，则需满足200a -<⎧⎨∆<⎩，解之22a -<<；综合①②，则实数a 的取值范围为(]2,2-. 8、若关于x 不等式20ax bx c ++<的解集为()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，则关于x 不等式20cx bx a -+>的解集为_______.【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭;【解析】由不等式20ax bx c ++<的解集为()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，可得 ()()212002ax bx c a x x a ⎛⎫++=++<< ⎪⎝⎭，所以52b a =，c a =，所以20cx bx a -+>可转化为2502ax x a -+>，结合0a <，所以有()1202x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即不等式20cx bx a -+>的解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 9、在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5Z k n k n =+∈，0,1,2,3,4k =.给出下列四个结论：①[]20150∈；②[]33-∈；③[][][][][]Z 01234=；④“整数,a b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”.其中，正确结论的个数．．是_______. 【答案】3个；【解析】①正确，由于2015能够被5整除；②错误，3152-=-⨯+，故[]32-∈；③正确，将整数按照被5除分类，刚好分为5类；④正确.10、某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费p （万元）与仓库到停车库的距离x （公里）成反比，而每月库存货物的运费k （万元）与仓库到停车库的距离x （公里）成正比.如果在距离停车库18公里处建仓库，这两项费用p 和k 分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x =_______公里. 【答案】2；【解析】设Px m =，kn x=（,m n 为常数），由18x =时，4p =，144k =，可知72,36m n ==，所以72,36p k x x ==，7223636722p k x x x x ⎛⎫+=+=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2x =时取等号. 11、设R a ∈，若0x >时，均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值集合．．为_________.【答案】32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】可以取特殊值2x =代入，得2302a ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，所以32a =，存在且唯一.也可以结合数轴标根法，但此时注意需有重根出现才能符合题意，最后讨论也可求出结果.二、选择题（每题4分，共16分）12、三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释.A.如果a b >，b c >，那么a c >B. 如果0a b >>，那么22a b >C.对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D. 如果a b >，0c >那么ac bc > 【答案】C ；【解析】可将直角三角形的两直角边长度取作,a b ，斜边为c （222c a b =+），则外围的正方形的面积为2c ，也就是22a b +，四个阴影面积之和刚好为2ab ，对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立.13、设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ） A. ()f x x =，()2g x x =B. ()()2x f x x=，()()2xg x x =C. ()1f x =，()()01g x x =-D. ()293x f x x -=+，()3g x x =-【答案】B ；【解析】A 选项对应关系不同，()f x x =，()2g x x x ==；C 、D 选项定义域不相同. 14、33x y >⎧⎨>⎩是69x y x y +>⎧⎨⋅>⎩成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】充分性显然成立，必要性可以举反例：10x =，52y =，显然必要性不成立. 15、在关于x 的方程240x ax -+=，()21160x a x +-+=，223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A. 44a -≤≤ B. 9a ≥或7a ≤- C. 2a ≤-或4a ≥ D. 24a -<< 【答案】C ；【解析】可以采用补集思想.三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可. 三、解答题（共6大题，满分60分） 16、（本题满分8分） 解关于x 的方程：212324x x +-=.【答案】2x =或423x =-；【解析】2201232142324x x x x x ≥⎧⎪+-=⇒⎨+-=⎪⎩或2012324x x x <⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解之2x =或423x =-.17、（本题满分8分，每小题4分） 设关于x 的不等式：21241x x k k+-≥+. （1）解此不等式；（2）若212421x x x k k ⎧+-⎫∈≥+⎨⎬⎩⎭，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）①当2k =时，不等式的解为R ；②当2k >时，不等式的解为242k k x k --≥-；③当2k <且0k ≠时，不等式的解为242k k x k --≤-；（2）()0,3；【解析】（1）()221241124x x k x k x k k +-≥+⇒+≥+-，即有()224k x k k -≥--，所以 ①当2k =时，不等式的解为R ；②当2k >时，不等式的解为242k k x k --≥-；③当2k <且0k ≠时，不等式的解为242k k x k --≤-；（2）由于212421x x x k k ⎧+-⎫∈≥+⎨⎬⎩⎭，所以2k =符合；结合（1）可以得到：22422k k k k >⎧⎪⎨--≥⎪-⎩，解之23k <<；或22422k k k k <⎧⎪⎨--≤⎪-⎩，解之02k <<.综上()0,3k ∈.18、（本题满分10分）已知1123x P x ⎧⎫-=-≤⎨⎬⎩⎭，(){}22210Q x x x m =-+-≤，其中0m >，全集R U =.若“U x P ∈ð”是“U x Q ∈ð”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 【答案】(][),99,-∞-+∞；【解析】由“U x P ∈ð”是“U x Q ∈ð”的必要不充分条件，可得U U x Q x P ∈⇒∈痧，所以()()UUQ P ⊂≠痧，而()()()112,210,3U x P x ⎧⎫-=->=-∞-+∞⎨⎬⎩⎭ð，()(){}22210U Q x x x m =-+->ð，令()22210x x m -+-=的根为()1212,x x x x <，则必有12210x x ≤-<≤，解之(][),99,m ∈-∞-+∞.19、（本题满分10分）现有,,,A B C D 四个长方体容器，,A B 的底面积均为2x ，高分别为,x y ；,C D 的底面积均为2y ，高分别为,x y （其中x y ≠）.现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【答案】只有1种，就是取,A D . 【解析】当x y >时，则3223x x y xy y >>>，即A B C D >>>； 当x y <时，则3223y y x yx x >>>，即D C B A >>>；又()()()()()2332232320x y xy x y x x y y xy x y x y +-+=-+-=-+>所以在不知道,x y 的大小的情况下，取,A D 能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握. 20、（本题满分12分，第一小题3分，第二小题4分，第三小题5分） 定义实数,a b 间的计算法则如下：2,,a a b a b b a b ≥⎧∆=⎨<⎩.（1）计算()231∆∆；（2）对x z y <<的任意实数,,x y z ，判断等式()()x y z x y z ∆∆=∆∆是否恒成立，并说明理由； （3）写出函数()()12y x x x =∆∆-∆的解析式，其中22x -≤≤，并求函数的值域. 【答案】（1）9；（2）不能；（3）[]1,2-.【解析】（1）因为()313∆=，所以()231239∆∆=∆=； （2）由于y z >，所以()y z y ∆=，()2x y z x y y ∆∆=∆=；由于x y <，所以()2x y y ∆=，即有()2x y z y z ∆∆=∆，此时若2y z ≥，则()2xy z y ∆∆=；若2y z <，则()2x y z z ∆∆=.所以等式()()x y z x y z ∆∆=∆∆并不能保证对任意实数,,x y z 都成立. （3）由于21,211,12x x x x -≤≤⎧∆=⎨<≤⎩，22x ∆=，所以()()21,21122,12x y x x x x --≤≤⎧=∆-∆=⎨-<≤⎩，函数的值域为[]1,2-.21、（本题满分共12分，每小题4分） 已知实数,,a b c 满足a b c >>. （1）求证：1110a b b c c a++>---； （2）现推广如下：把1c a -的分子改为一个大于1的正整数p ，使得110pa b b c c a++>---对任意a b c >>都成立，试写出一个p 并证明之；（3）现换个角度推广如下：正整数,,m n p 满足什么条件时，0m n pa b b c c a++>---对任意a b c >>都成立，请写出条件并证明之.【答案】见解析.【解析】（1）由于a b c >>，所以0,0,0a b b c a c ->->->，要证1110a b b c c a++>---，只需证明()1110a c a b b c c a ⎛⎫-++> ⎪---⎝⎭. 左边()()111130b c a b a b b c a b b c c a a b b c --⎛⎫=-+-++=++≥>⎡⎤ ⎪⎣⎦-----⎝⎭，证毕. （2）欲使110p a b b c c a ++>---，只需()110p a c a b b c c a ⎛⎫-++> ⎪---⎝⎭，左边()()1124p b c a b a b b c p p a b b c c a a b b c --⎛⎫=-+-++=-++≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦-----⎝⎭，所以只需40p ->即可，即4p <，所以可以取2,3p =代入上面过程即可.（3）欲使0m n p a b b c c a ++>---，只需()0m n p a c a b b c c a ⎛⎫-++> ⎪---⎝⎭，左边()()()()2m b c n a b m n p a b b c m n p m n mn pa b b c c a a b b c --⎛⎫=-+-++=+-++≥++-⎡⎤ ⎪⎣⎦-----⎝⎭，只需20m n mn p ++->，即m n p +>（,,Z m n p +∈）.。