3. 全等三角形难题题型归类及解析
、角平分线型
角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助 线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的 垂线。
另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分 线与垂线构成等腰三角形。
如图，在△ ABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分/ BAC 在AB 上截取AE=AC
连结DE 已知DE=2cm BD=3cm 求线段BC 的长。
已知：如图所示，BD 为/ ABC 的平分线，AB=BC
在 BD 上, PM L AD 于 M ?PNICD 于 N,判断 与PN 的关系.
如图所示，P 为/ AOB 勺平分线上一点，PC 丄0A 于C,
OAP /OBP=180，
若OC=4cm 求AO+BO 勺值.
1. 2. PM
已知：如图E 在^ ABC 的边AC 上，且/ AEB 玄ABC
求证：/ ABE=/ C;
若/ BAE 的平分线 AF 交 BE 于 F , FD// BC 交 AC 于
D,
的长。
5、如图所示，已知/ 仁/2, EF 丄AD 于P ,交BC 延长线于M ，求证：2/ M=
(/ACB- / B
)
4. 设 AB=5 AC=8 求 DC
已知在△ ABC中,/ BAC为直角，AB=ACD为AC上一点，CEL BD于E.
(1) 若BD平分/ ABC求证CE=2BD (2) 若D为AC上一动点，/ AED如何
变化，若变化，求它的变化范围;
若不变，求出它的度数，并说明理由。
7、如图:
BE。
四边形ABCD中, AD// BC，AB=AD+BC，E是CD的中点, 求证：AE1 6如图,
8、如图，在△ ABC 中，/ ABC=60° , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB , 求证：AC=AE+CD .
二、中点型
由中点应产生以下联想: 1、想到中线，倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线
〔、△ ABC 中，/ A=90° , AB=AC , D 为BC 中点，E、F 分别在AC、AB 上, 且DE丄DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由.
2、已知：如图，△ ABC 中，NABC =45° , CD 丄 AB 于 D , BE 平分 N ABC ，且
BE 丄AC 于E , 与 CD 相交于点F , H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点
=AC ; 二1
BF 2
3、如图，△ ABC 中，D 是BC 的中点，DE 丄DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小
系，并证明你的结论。
（第19题）
4、如图，已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE=AC ，
求证:
BF 求证: (2) CE
延长BE交AC于F,求证：AF=EF
A
三、多个直角型
在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等，而最难找的是锐角相等，所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要，它是证明多个
直角问题中锐角相等的有利工具。
1、如图,已知：AD是BC上的中线,
C
2、如图,已知：AB丄BC于B , EF丄AC于G, DF丄BC于D , BC=DF求证：AC=EF
3、女口图，/ ABC=90 , AB=BC BP 为一条射线，ADI BP, CEL PB,若 AD=4 EC=2.
A ABC 的两条高AD BE 相交于H,且AD=BD
试说明下列结论成立的
4、如图,
理由。
(1) / DBH=/ DAC (2) A BDH^ A ADC
求DE 的
如图/ACB=90 ,AC=BC,BE1 CE,ADICE于D, AD=2 5cm DE=1.7cm,求BE
的长
C在A、E的异侧,BD丄AE于D, CE丄AE于E
5.
6. 如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEI AC于E, BF丄AC于F,
7. 若AB=CD
(2)
如图⑴,
AF=CE BD交AC于点M.
求证：MB=MD ME=MF
当E、F两点移动到如图②的位置时,
否成立？若成立请给予证明；若不
成立请说明理由
.
已知△ ABC中,/ BAC=90 AB=AC, AE是过A的一条直线,且B、A
其余条件不变，上述结论能
②
(1) 试说明：BD=DE+CE.
(2)若直线AE 绕A 点旋转到图(2)位置时(BDVCE),其余条件不变, CE 的关系如何？为什么?
(3)若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,
(4)归纳前二个问得出BD DE CE 关系。
用简洁的语言加以
说明。
四、等边三角形型
由于等边三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等 三角形，另外等边三角形又具有 60度和120度的旋转对称性，所以经常利用旋 转全等的知识进行解答，同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质，因此当 我们看到
问 BD 与 DE
A E
CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明. I
B
问 BD 与 DE
有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。
1、如图，已知心ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB 上, 且也DEF 也是等边三角形.
(2)除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的
猜想是正确的；
(3)你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化
过程.
2、已知等边三角形ABC中，BD = CE,AD与BE相交于点P,求/AP
E的大小。
3、如图，D是等边△ ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△ EDC 连接AE,找出图中的一组全等三角形，并说明理由.
4、已知，△ ABC 和^ ECD 都是等边三角形，且点 B , C , D 在一条直线上■求
已知P 是等边△ ABC 内的一点，P A = 5, PB=4, PC =3,则NBPC 的度数为
多少? 已知P 是正方形ABCD 内的一点，PA ： PB ： PC=1 : 2 : 3,贝/APB 的度证: BE=AD
5、
6、
数为多少？.
五、等腰三角形型 由于等腰三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三 角形，另外等腰三角形又具有旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行 解答
1、如图所示，已知 AEL AB, AF 丄 AC , AE=AB AF=AC
求证：(1) EC=BF (2) EC L BF
2.在^ ABC中，，AB=AC 在AB边上取点D,在AC延长线上取点E ,使CE=BD,
连接DE交BC于点F,求证DF=EF .
3.如图所示,已知D是等腰△ ABC底边BC上的一点,它到两腰AB AC的距离分
别为DE DF,CM L AB,垂足为M,请你探索一下线段DE DF CM三者之间的数
量关系，并给予证明.
折叠型
2 3、如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD& EF折叠（点E、F分别在边
AB CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP.
（1）如图②，若M为AD边的中点,
①,△ AEM的周长= ___ cm
②求证：EP=AE+DP
⑵ 随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A D重合），△ PDM的周长是否发生变化？请说明理由.。