《数列》单元练习试题一、选择题1．已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n （∈n N *），则4a 等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）02．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ） （A ）它的首项是2-，公差是3 （B ）它的首项是2，公差是3- （C ）它的首项是3-，公差是2 （D ）它的首项是3，公差是2- 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则=24a S （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）215 （D ）2174．设数列{}n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）（A ）54S S < （B ）54S S = （C ）56S S < （D ）56S S = 5．已知数列}{n a 满足01=a ，1331+-=+n n n a a a （∈n N *），则=20a （ ）（A ）0 （B ）3- （C ）3 （D ）236．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ）（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）2607．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则（ ）（A ）5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+（C ）5481a a a a +=+ （D ）81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项9．设}{n a 是由正数组成的等比数列，公比2=q ，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，那么30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ）（A）210（B）220（C）216（D）21510．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）（A）289 （B）1024 （C）1225 （D）1378二、填空题11．已知等差数列}{na的公差0≠d，且1a，3a，9a成等比数列，则1042931aaaaaa++++的值是．12．等比数列}{na的公比0>q．已知12=a，nnnaaa612=+++，则}{na的前4项和=4S．13．在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一固定值．如果1km高度的气温是8.5℃，5km高度的气温是－17.5℃，那么3km高度的气温是℃．14．设21=a，121+=+nn aa，21nnnaba+=-，∈n N*，则数列}{nb的通项公式=nb．15．设等差数列}{na的前n项和为nS，则4S，48SS-，812SS-，1216SS-成等差数列．类比以上结论有：设等比数列}{nb的前n项积为nT，则4T，，，1216TT成等比数列．三、解答题16．已知}{na是一个等差数列，且12=a，55-=a．（Ⅰ）求}{na的通项na；（Ⅱ）求}{na的前n项和nS的最大值．17．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列．（Ⅰ）求}{n a 的公比q ； （Ⅱ）若331=-a a ，求n S ．18．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m ．（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？19．设数列}{n a 满足333313221na a a a n n =++++- ，∈n N *．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项； （Ⅱ）设nn a nb =，求数列}{n b 的前n 项和n S ．20．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，241+=+n n a S ．（Ⅰ）设n n n a a b 21-=+，证明数列}{n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式．21．已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n a n n n b 2)1(41⋅-+=-λ（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．《数列》单元测试题 参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．A 9．B 10．C 二、填空题11．1613 12．21513．－4.5 14．12+n 15．48T T ，812T T 三、解答题16．（Ⅰ）设}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧-=+=+.54,111d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,31d a∴52)2()1(3+-=-⨯-+=n n a n ． （Ⅱ）4)2(4)2(2)1(322+--=+-=-⨯-+=n n n n n n S n ． ∴当2=n 时，n S 取得最大值4．17．（Ⅰ）依题意，有3212S S S =+，∴)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++， 由于01≠a ，故022=+q q ，又0≠q ，从而21-=q ．（Ⅱ）由已知，得3)21(211=--a a ，故41=a ，从而])21(1[38)21(1])21(1[4n n n S --=----⨯=． 18．（Ⅰ）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有7052)1(2=+-+n n n n ， 整理，得0140132=-+n n ，解得7=n ，20-=n （舍去）． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． （Ⅱ）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有70352)1(2⨯=+-+n n n n ， 整理，得0420132=-+n n ， 解得15=n ，28-=n （舍去）． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．19．（Ⅰ）∵333313221n a a a a n n =++++- ， ①∴当2≥n 时，31333123221-=++++--n a a a a n n ． ② 由①－②，得3131=-n n a ，n n a 31=． 在①中，令1=n ，得311=a ． ∴nn a 31=，∈n N *． （Ⅱ）∵nn a nb =，∴n n n b 3⋅=， ∴n n n S 33332332⋅++⨯+⨯+= ， ③ ∴14323333233+⋅++⨯+⨯+=n n n S ． ④ 由④－③，得)3333(32321n n n n S ++++-⋅=+ ，即31)31(3321---⋅=+n n n n S ， ∴4343)12(1+-=+n n n S ． 20．（Ⅰ）由11=a ，241+=+n n a S ，有24121+=+a a a ，∴52312=+=a a ，∴32121=-=a a b ．∵241+=+n n a S ， ① ∴241+=-n n a S （2≥n ）， ② 由①－②，得1144-+-=n n n a a a ， ∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a ， ∵n n n a a b 21-=+，∴12-=n n b b ，∴数列}{n b 是首项为3，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ），得11232-+⋅=-=n n n n a a b ，∴432211=-++n n n n a a ， ∴数列}2{nn a 是首项为21，公差为43的等差数列， ∴414343)1(212-=⨯-+=n n a nn ， ∴22)13(-⋅-=n n n a ．21．（Ⅰ）由已知，得()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=， ∴数列{}n a 是以12a =为首项，1为公差的等差数列， ∴1n a n =+．（Ⅱ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立， ∴()11343120n n n λ-+⋅-⋅->恒成立， ∴()1112n n λ---<恒成立．（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立， 当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立， 当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-． ∴21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．。