数列求和及极限
【知识及方法归纳】
1、 数列求和主要有以下几种常见方法：（1）公式法；（2）通项转移法；（3）倒序相加法；
（4）裂项相消法；（5）错项消法；（6）猜想、证明（数学归纳法）。
2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；求无穷等比数列各项的和。
【学法指导】
1、 在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幂数列的求和公式，如：+++…+=
6
)
12)(1(++n n n ；2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通
过对数列通项结构特点的分析研究，将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差；3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n 项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对、、…进行归纳，分析，寻求规律，猜想出，然后再用数学归纳法给予证明。
【典型例题】
例1 求和：+++…+2)12(-n
【分析】这是一个通项为2)12(-n 的数列求前 n 项和，对通项公式展开可得：=1442++n n ，
所以对原数列求和分解为3个新数列求和，可用方法2求和。
【简解】+++…+2)12(-n =（114142+∙-∙）+（124242+∙-∙）+…+（1442+-n n ）=4（+++…
+）–4·（1+2+3+…+n ）+n =4。
3)
12)(12(2)1(46)12)(1(+-=
++∙-++n n n n n n n n n 。
例2 求和：12510257541+++…+1
523--
n n 【分析】这是一个通项为1
5
23--n n 的数列求前n 项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积，可用方法5求和。
【简解】设=12510257541+++…+1523--
n n ，则n S 51=25451++…+n
n n n 5235531-+--，所以n S )511(-=1+2
5353++…+
n n n 523531
---=1++++251511(53 (2)
51
-+n ）
–n n 523-=1+5
1
1)51(1531
--∙-n –n n 523-=n n 5471247∙+-，所以=151********-∙+-n n 。
例3 求2
222223217,215,
13+++，…的前n 项和 【分析】先写出此数列的通项222
2112n
n a n ++++=
=)1(66
)12)(1(12+=+++n n n n n n =)111(6+-n n ，它属于用方法4，即裂项求和。
【简解】因为2222112n
n a n ++++=
=)1(6)12)(1()12(6+=+++n n n n n n =)111(6+-n n ，所以=6[（1-21）+（21-31）+…+（n 1-11+n ）]= 16+n n 。
例4 若=)35()1(--n n ，求
【分析】由于所求的和与 n 的奇偶有关，所以按n 的奇偶分两类分别求和。
【简解】= –2+7–12+17–22+27–…+)35()1(--n n ，当n 为奇数时，=
2
5
)1(∙-n –5n +3=215+n ,当
n 为偶数时，=52∙n =2
5n 。
例5 在等比数列{}中, ∞→n lim =(n a a a a ++++ 321)=41,则的取值范围是多少？
【分析】无穷等比数列的各项和是指前n 项和的极限∞
→n lim 。
当|q |＜1时，∞
→n lim =
q
a -11
；当|q |≥1时，这一极限不存在。
即在无穷等比数列中，|q |＜1（q ≠0）是∞
→n lim 存在的充
要条件。
所以特别要注意公式S =∞
→n lim =
q a -11的含义及适用范围。
因此由q a
-11=4
1可得：q =1-4，因为0＜|q |＜1，所以0＜|1-4|＜1，即：0＜＜21，且≠4
1。
【简解】得的取值范围是（0，41）∪（41，21）。
【复习练习】
一、 选择题
1、等差数列{}、{}的前n 项和分别为与，若
1
32+=n n T S n n ，则∞→n lim n n b a
等于（ ）
A 、1
B 、
3
6
C 、32
D 、94
2、等差数列{}的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 （ ）A 、
130 B 、170 C 、210 D 、260 3、等比数列{}中，＞1，且前n 项和满足∞
→n lim =11a ，则的取值范围是（ ）
A 、（1、+∞）
B 、（1、4）
C 、（1、2）
D 、（1、）
4、根据时常调查结果，预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量（万件）近
似地满足=)521(902--n n n （n =1，2，…，12）。
按此预测，在本年度内，需求量超过1.5
万件的月份是 （ ）
A 、5月、6月
B 、6月、7月
C 、7月、8月
D 、8月、9月 5、若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 （ ） A 、13项 B 、12项 C 、11项 D 、10项
二、填空题
1、设a ＞1，则∞→n lim 1
111+++-n n a a = 。
2、已知等差数列{}的公差d ＞0 ，首项＞0，=
∑=+n
i i
i a a 1
11，则∞
→n lim = 。
3、已知等比数列{}（∈R ），21a a +=9，321a a a ∙∙=27，且=n a a a a ++++ 321（n=1、2…），则∞
→n lim = 。
4、设0＜a ＜b ，则∞
→n lim
n
n n b a b -4= 。
5、若数列{}的通项为
)1(1+n n （n ∈N ），则∞
→n lim （n a n a 21+）= 。
三、解答题
1、已知数列223118∙∙，225328∙∙，…，22)12()12(8+-n n n ，… 为其前n 项的和，计算得=98，=2524，= 4948，= 8180。
观察上述结果，推测计算的公式，并用数学归纳法证明。
2、设数列{}的前n 项和为，若对所有的正自然数n ，都有=
2
)
(1n a a n +。
证明：{}是等差数列。
3、 {}是正数组成的数列，前n 项和为，且对所有n ∈，与2的等差中项等于 与2的等比中
项。
（1）写出数列{}的前3项；（2）求数列{}的通项公式（写出推证过程）；（3）令
=21(n n a a 1++1+n n a a
) ( n ∈),求lim (++…+-n )。
4、 设{}是正数组成的等比数列，前n 项和为。
（1）证明：
2
lg lg 2
++n n S S ＜1lg +n S ；（2）是
否存在常数c ＞0，使得
2
)
lg()lg(2c S c S n n -+-+=)lg(1c S n -+成立？并证明你的结论。
5、 设{}为等比数列，=n n a a a n na +++-+-1212)1( ，已知=1，=4。
（1）求数列{}的首项和公
比；（2）求数列{}的通项公式。
6、 已知{}是首项为2，公比为2
1的等比数列，前n 项和为。
（1）用表示1+n S ；（2）是否存
在自然数c 和k ，使得 c
S c
S k k --+1＞2成立。