1、数学归纳法的理论基础数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。

它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。

它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。

1.1数学归纳法的发展历史自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。

在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。

还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。

安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。

但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。

伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明22333(1)124n n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。

接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。

他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。

到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++=其中1231,2k a k =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。

17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发现的帕斯卡三角形。

数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。

帕斯卡、毛罗利科、伊本穆思依姆等都很自觉地使用归纳推理，传承运用数学归纳法，但一直没有明确的名称，而是英国数学家德摩根在其命名上迈出了重要的一步，他曾在1838年伦敦出版的《小百科全书》中，建议将“归纳法（数学）”改为“逐次归纳法”，有意思的是在后来的一次无意中他无意中使用了“数学归纳法”这便成为了最早的名称。

之后，英国数学家托德亨特的《代数》（1866年出版）中也采用了“数学归纳法”这一名称，从此这一名称在英国传播开了。

1.2数学归纳法的逻辑基础数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。

归纳公理：由自然数组成的集合为N ，1N ∈,若N 中任意自然数的后继也属于N ，则N 包含了全部自然数。

2、数学归纳法的步骤及其类型2.1 第一数学归纳法设()p n 是关于自然数n 的命题,如果()p n 满足:(1) (1)p 成立；(2) 假设当n k =时,命题()p k 成立；可以推出(1)p k +也成立，则命题()p n 对一切自然数n 都成立。

证明:设M 是由满足命题()p n 的自然数组成的集合即M 是自然数集N 的子集,由于(1)p 成立1M ∴∈,又由(2)知k M ∈ 1k M +∈即k 的后继'k M ∈，由皮亚诺公理的归纳公理5得M N =因此对于一切自然数n ，()p n 都成立。

第一数学归纳法的应用例1 用数学归纳法证明22333(1)124n n n n N ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=∈证明: （1）当1n =时，左边=1=右边命题成立（2）假设n k =时命题成立，即22333(k 1)124k k +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 那么当1n k =+时，223333(k 1)12(1)(1)4k k k +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++22(1)(k 2)4k ++= 即当1n k =+时命题也成立，所以原命题成立。

2.2 第二数学归纳法假设()p n 是关于自然数n 的命题,如果()p n 满足:(1) (1)p 成立；(2)假设()p n 对于所有满足a k <的自然数a 成立，则()p k 也成立；那么,命题()p n 对一切自然数n 都成立。

证明:设{n |()M p n =∈成立，n N},又设A N M =-(差集)假设A 不空,由自然数的最小数原理, A 有最小数0a由条件(1)知1M ∈,故01a ≠因此01,21a M -∈L L ,又由条件(2)知01a M -∈,必有0a M ∈这与0a A ∈矛盾,所以A 为空集从而M N =,则命题()p n 对一切自然数n 都成立。

第二数学归纳法是第一数学归纳法的加强，在高考数学中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以开拓一个学生的思维，体会其中的思想奥妙，在一定程度上可以激发学生学习数学的兴趣，促使学生去创新，与此同时可以发现数学的美。

2.3 数学归纳法其他类型（1）跳跃数学归纳法①当时，成立，l n ,,3,2,1Λ=)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ②假设时成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．（2）反向数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果a) 对无限多个正整数成立；b) 假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么根据①②对一切正整数时，成立．（3）跷跷板数学归纳法针对两个与自然数有关命题,n n A Ba) 证明1A 成立；b) 假设k A 成立，递推证明k B 成立，即k A 成立推出k B 成立；又假设k B 成立，由此递推证明出1k A +也成立，即k B 成立推出1k A +。

于是，对于任意自然数，结论,n n A B 都成立3、结合高考试题体现数学归纳法3.1 高考中数学归纳法题型的分析在高考数学中，运用数学归纳法的证明一般不单独命题，考查常常渗透到数列综合题中，既考查推理论证能力，又考查探究思维能力。

近年江西高考压轴题的数列不等式，常常会用到数学归纳法，且常与放缩法有关。

其他省的高考题趋势也差不多，数学归纳法在高考中出现的几种题型主要是与数列、不等式、整除相结合考察，难度不是很大，但能体现出解题的效率大大增加，化复杂为容易、抽象为具体，是一个非常值得考察的知识点。

3.2 数学归纳法在代数中的应用在高考中数学归纳法知识的考察往往是结合代数一起进行的，而代数方面主要体现在数列、整除、不等式方面，但是在几何方面也是一个命题点，这样在一定程度上考察了学生的创新能力与想象能力，符合现代数学的教学目标。

下面就这两大方面进行分析阐述。

3.2.1数学归纳法在数列中的应用高考数学中结合数列来体现数学归纳法是非常常见的题，有些数列的通项不k n =)(k P l k n +=)(n P 1≥n )(n P )(n P )(n P n k n =)(k P 1-=k n )1(-k P 1≥n )(n P好求，我们可以先对前面几项发现规律，进而进行猜想，继而用数学归纳法进行证明，这不失一种很好解决问题的方法。

在生活上可以将此精髓应用，可以达到很好的效果。

例2 [2014·重庆卷] 设11a =，1(n N )n a b ++=∈(1)若1b =，求2a ，3a 及数列{}n a 的通项公式．(2)若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有n N +∈成立？证明你的结论．解：(1) 22a = 31a =变下形式有11a = 21a = 31a =根据这个规律进行猜想有1n a =下面用数学归纳法证明以上结论：证明：1、（1）当1n =时，结论显然成立．（2）假设n k =时命题成立 即1k a =则1111k a +===当1n k =+时命题也成立所以1n a n N +=∈2、设()1f x =则1()n n a f a +=令()c f c = 即1c =解得14c = 下面用数学归纳法证明命题2211n n a c a +<<<（1）当1n =时，2(1)0a f == 3(0)1a f ==23114a a <<<结论成立 （2）假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<易知(x)f 在(－∞，1]上为减函数，从而212()(1)(1)k c f c f a f a +=>+>=即2221k c a a +>>>再由(x)f 在(－∞，1]上为减函数，得2223()(2)()1k c f c f a f a a +=<+<=<故231k c a +<<因此2(1)2(1)11k k a c a +++<<<当1n k =+时命题也成立 综上，存在14c =使221n n a c a +<<对所有n N +∈成立3.2.2数学归纳法在不等式中的应用用数学归纳法证明不等式可以有效提高解题效率，解题过程得到优化甚至可以使避免一些具体问题或简化。

直接使用数学归纳法进行不等式的证明时，在归纳和过渡往往存在一定的困难，如果能灵活地使用不等式的传递性和可加性，在恰当的时候使用过渡不等式和假设不等式与目标不等式的特征关系，通过放缩常数和强化命题等技巧,可以顺利完成归纳和过渡。

同时，在利用它来解决不等式问题时首先要细心地观察，然后大胆地进行联想，发现一些内在的联系从而为解决问题提供了方法和途径。

例3 [2014·安徽卷] 设实数0c >，整数1p >，n N +∈。

(1)证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+ ；(2)数列{}n a 满足11p a c >，111p n n n p c a a a p p -+-=+，证明：11p n n a a c +>>。

证明：(1)用数学归纳法证明如下① 当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+原不等式成立．② 假设(2,)p k k k N +=≥∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立．当1p k =+时，1(1)(1)(1)(1)(1)k k x x x x kx ++=++>++21(1)1(1)k x kx k x =+++>++ 所以当1p k =+时，原不等式也成立。