数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题摘要在处理数学问题时，经常涉及与任意自然数有关的一些命题，这些命题实质上是由无限个n取具体整数时得到的无限个命题组成的，我们往往不能逐一验证，这时，数学归纳法就是我们最常应用的一个有效的推理方法，为什么我们能够相信数学归纳法的证明呢？因为数学归纳法实质上是一种演绎推理法，华罗庚老先生是这样解释数学归纳法原理的：“我们采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，我们能够证明第1号命题是正确的；如果我们能够证明在第K 号命题正确的时候，第K+1号命题也是正确的，那么，这一批命题就全部正确.”其实，数学归纳法的正确性在我们学到的自然数的公理系统已经得到说明，他是与皮亚诺公理等价的一个本原性命题.关键字数学归纳法常见方式及问题无限有限数学归纳法（Mathematical Induction，通常简称为MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。

是用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式（不等式）成立和数列通项公式成立。

数学归纳法一般分为以下几种常见的方式：（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。

n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n），（1）验证n=n0时P(n）成立；（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立，（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（四）螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n ），Q(n ），（1）验证n=n0时P(n ）成立；（2）假设P(k ）（k>n0）成立，能推出Q(k ）成立，假设 Q(k ）成立，能推出 P(k+1）成立；综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），P(n ），Q(n ）都成立。

我们知道数学归纳法是建立在“潜无限”的观念基础上的，它的证明过程是一个有限的过程，但是在逻辑上却能够保证命题对“一切自然数”都成立，这是一种将“无限”化为”有限“，自然数系公理（皮亚诺公理）保证了数学归纳法的合理性，它是与皮亚诺公理等价的一个本原性命题。

现在我们先来看下数学归纳法在证明等式（不等式）成立和数列通项公式成立上的应用。

在等式（不等式）的应用例一：证明下面这个公式成立（命题）：其中 n 为任意自然数。

证明第一步第一步是验证这个公式在 n = 1 时成立。

我们有左边 = 1，而右边 = 11=+1*（）/21，所以这个公式在 n = 1 时成立。

第二步第二步我们需要证明如果假设 n = m 时公式成立，那么可以推导出 n = m+1 时公式也成立。

证明步骤如下。

我们先假设 n = m 时公式成立。

即（等式 1）然后在等式等号两边分别加上 m + 1 得到（等式 2）这就是 n = m+1 时的等式。

我们现在需要根据等式 1 证明等式 2 成立。

通过因式分解合并，等式 2 的右边(1)2(1)(2)(1)(1)[(1)1]=2222m m m m m m m ++++++++== 也就是说这样便证明了从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。

证明至此结丛，结论：对于任意自然数 n ，P(n) 均成立。

例二：已知m 为正整数，用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1m x mx +≥+. 证：（1） 当m=1时，原不等式成立，当m=2时，左边=21+2x+x ，右边=1+2x ，因为2x 0≥，所以左边≥右边，原不等式成立；（2） 假设当m=k 时，不等式成立，即(1)1k x kx +≥+；则当m=k+1时，因为1x >-，所以10x +>，于是在不等式(1)1k x kx +≥+两边同乘以1x +得(1)(1)(1)(1)k x x kx x +⋅+≥+⋅+21(1)1(1)k x kx k x =+++≥++所以1(1)1(1)k x k x ++≥++.即当m=k+1时，不等式成立.综合（1）、（2）知，对一切正整数m ，不等式成立.我们再看一个例子：例三：已知数列{}n a 中，1221a 0,1,()n n n a a a a n N +++===+∈,求证：数列{}n a 的第41()t t N ++∈项能被3整除.证：（1）当t=1时，因为321432101,112,a a a a a a =+=+==+=+=，得543213,a a a =+=+=能被3整除.（2）假设(1)t k k =≥时，41k a +能被3整除，当1t k =+时，4(1)1454344k k k k a a a a +++++==+42414342()()k k k k a a a a ++++=+++424142412()k k k k a a a a ++++=+++424132k k a a ++=+由于41k a +能被3整除，故4(1)1k a ++也能被3整除，由（1）和（2）知，对一切t N +∈，41t a +能被3整除.解释在这两个证明中，归纳推理的过程如下：首先证明 P(1) 成立，即公式在 n = 1 时成立。

然后证明从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。

（这里实际应用的是演绎推理法）根据上两条从 P(1) 成立可以推导出 P(1+1)，也就是 P(2) 成立。

继续推导，可以知道 P(3)成立。

从 P(3) 成立可以推导出 P(4) 也成立。

不断重复推导下一命题成立的步骤。

（这就是所谓“归纳”推理的地方） 我们便可以下结论：对于任意自然数 n ，P(n) 成立。

当然在应用，数学归纳法也常常需要采取一些变化来适应实际的需求。

下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从 0 以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字 b 的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：1. 第一步，证明当 n = b 时命题成立。

2. 第二步，证明如果 n = m (m ≥ b ) 成立，那么可以推导出 n = m +1 也成立。

只针对偶数或只针对奇数如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：奇数方面：1. 第一步，证明当 n = 1 时命题成立。

2. 第二步，证明如果 n = m 成立，那么可以推导出 n = m +2 也成立。

偶数方面：1. 第一步，证明当 n = 0或2 时命题成立。

2. 第二步，证明如果 n = m 成立，那么可以推导出 n = m +2 也成立。

总之，数学归纳法巧妙的将有限与无限联系起来，把有限蕴含到无限当中，当然在应用数学归纳法药注意的得当，不然就会出现问题，这需要我们引以为戒的。

下面我们看看数学归纳法在应用中存在的一些问题（我们以例子进行说明）：数学归纳法应用中常见的问题例1：若,a b 是两个不相等的正整数，则记max(,)a b 为,a b 中较大的一个，若a b =，则记max(,)a b a b ==.命题n A ：若a 和b 为任何两个正整数，使得max(,)a b n =，则a b =.证 （1）当1n =时，命题A 显然为真，因为若max(,)1a b =，由于假设,a b 为正整数，最大值是1的正整数只能是1a b ==；（2）假定命题k A 为真，即设max(,)a b k =时，a b =为真（其中,a b 为正整数），求证命题1k A +也真，即求证当max(,)1a b k =+时，a b =也真.现考察两个整数：1,1a b αβ=-=- （1） 而由于式子max(,)1a b b =+ （2）与 max(1,1)a b k --= （3）显然是等价的，因此，由（1）式得max(,)max(1,1)a b k αβ=--=而由归纳法假设k A 为真，则得αβ=，即11a b -=-，所以a b =，又由于（2）式与（3）式得等价性，即证得1k A +为真.由数学归纳法知，对一切自然数r ，r A 为真，对特殊的n ，当然有n A 为真，所以有a b =.仔细检查上述证明，发现假设k A 成立，递推到1k A +成立的推导过程是正确的，那么。

问题出现在哪里？其实我们仔细，就会发现,αβ是包括零在内的，但我们欲证得起始数是1，问题就出现在这里.例二：求证：所有人的年龄是一样的.证：当n=1时，命题显然成立.现设命题对n 成立，即对任何n 个人，其年龄一样，那么可证对任何n+1个人，命题也对.设将这n+1个人编号，记为1,2，…n ，n+1.于是1,2，…,n-1，n 总共n 个，由归纳法假定，有相同年龄A ；同时2,3…，n ，n+1总共也是n 个，也具有相同年龄B ，于是2,3，…n 和1同为A ，又和n+1同为B.这样，例如编号为2的年龄是A 又是B ，于是A=B.即假设由()p n 成立，推到(1)p n +也成立.我们仔细的发觉，发现这是出现矛盾的，但这似乎一连串合理的推论，这到底错在哪里呢？其实当n=2时，命题是不成立的，因此由n=1成立，推不出n=2成立，即递推中断.例三: 求证：!!()!k n n C k n k =- 证：当n=1时，命题显然成立.假设当n=k 时，!1!()!k k k C k k k ==-，当n=k+1时，一方面，11k k C k +=+，这是因为从k+1个元里每次取出k 个元的组合种数，显然为k+1. 另一方面：1(1)!(1)!1![(1)]!!1!k k k k C k k k k k +++===++-. 因此，对一切自然数n ，这个命题是正确的.但实际上在证明11k k C k +=+时，丢开了!1!()!k k k C k k k ==-的假设，这充其量只是把一个特殊值代入欲证的公式加以验证而已，上述证明中更严重的错误还在于，混淆了n 、k 中哪一个变量作为归纳的对象.在这里，我们应该把n 看做常数，对变量k 进行归纳，因为否则，当1k >时，就无法讨论n=1时的情况. 正确的证法是:当k=1时，1n C n =；另一方面，!1!(1)!n n n =-，这时命题正确. 现设当k=r 时，命题正确，即!(1)...(1)!()!!r nn n n n r C r n r r --+==-，则当k=r+1时，1(1)...(1)()!1!(1)(1)!(1)!r r n n n r n n n r n r n C C r r r r n r +---+-===+++-- （11r r n n n r C C r +-=+成立的说明：欲求n 个元中每次取出r+1个元的组合种数，可看做先从n 个元中每次取出r 个元的组合种数，然后再从n-r 个元中任选一个元添加进去，这样，共有n-r 个搭配，因此，总共有组合数（n-r ）r n C 种，但是必须去掉重复计算的组合数.例如12,,...,r a a a 添加1r a +与1211,,...,,r r a a a a -+添加r a ，这r+1个元所有的组合实际上是同一个组合，因此 1()1r r n n n r C C r +-=+ 由此可以证明结论是正确的.通过以上一些例子，我对数学归纳法应用中常见的问题进行简单的说明1、错把欲证的起始数弄错，正确确定数学归纳法的欲归纳的起始数很关键。