【例1】观察下列每对数在数轴上对应点间的距离： 4 与2-， 3 与 5 ，2-与6-，4-与 3 ． 如： 4 与2-对应点间的距离是|4(2)|6--=； 3 与 5 对应点间的距离是|35|2-=．回答下列问题：（1） 若数轴上A 、B 两点分别表示有理数a 、b ，则A 、B 两点间的距离是多少？ （用含a 、b 的式子表示） 答： ； （2） 若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为1-，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ；（3） 结合数轴可得|2||3|x x -++的最小值为 ；（4） 若关于x 的方程|1||1||5|x x x a -+++-=无解， 则a 的取值范围是 ．【解答】解： （1） 由观察可知：A 、B 两点间的距离是||b a -；（2） 结合数轴， 我们得到A 与B 两点间的距离可以表示为|1|x +；（3） 当3x <-时，|2||3|2(3)21x x x x x -++=--+=--，此时最小值大于 5 ； 当32x -≤≤时，|2||3|235x x x x -++=-++=；当2x >时，|2||3|2321x x x x x -++=-++=+，此时最小值大于 5 ；所以|2||3|x x -++的最小值为 5 ，取得最小值时x 的取值范围为32x -≤≤；（4）当5x ≥时，1153510x x x x =-+++-=-≥原式，当15x ≤<时，1155x x x x =-+++-=+原式，此时610≤<原式，当11x -≤<时，1157x x x x =-+++-=-原式，此时68<≤原式，当1x <-时，115538x x x x =---+-=->原式，此时>原式8，绝对值的综合应用一、常考易错题分析所以|1||1||5|6x x x -+++-≥，因为|1||1||5|x x x a -+++-=无解，所以6a <．故答案为： （1）||b a -； （2）|1|x +； （3） 5 ； （4）6a <．【例2】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；表示3-和2的两点之间的距离是 ；表示数a 和2-的两点之间的距离是3，那么a = ；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于（2）若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，求|4||2|a a ++-的值；（3）当a = 时，|5||1||4|a a a ++-+-的值最小，最小值是 ．【解答】解：（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是 3；表示3-和2的两点之间的距离是5；表示数a 和2-的两点之间的距离是3，那么1a =或5-；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -；（2）42a -<<，|4||2|426a a a a ++-=++-=；（3）当1a =时，|5||1||4|6039a a a ++-+-=++=，故答案为：（1）3；5；5-或1；||m n -；（2）6；（3）1；9．一．选择题（共3小题）二、巩固练习1．（2019•平阴县二模）8-的绝对值是( )A ．8-B ．18C ．8D ．18- 2．（2019春•浦东新区期末）下列说法正确的是( )A ．一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是正数B ．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数C ．绝对值越大，这个数越大D ．两个负数，绝对值大的那个数反而小3．（2019春•南岗区校级月考）若||3a =，则a 的值为( )A ．3B ．3-C ．3或3-D ．以上答案都不对二．填空题（共4小题）4．（2019•德州）|3|3x x -=-，则x 的取值范围是 ．5．（2019春•松江区期中）已知35x <<，化简|3||5|x x -+-= ．6．（2018秋•碑林区校级期末）如果x 、y 都是不为0的有理数，则代数式||||x y x y +的值是 ．7．（2018秋•常熟市校级月考）三个数a 、b 、c 是均不为 0 的三个数， 且0a b c ++=， 则||||||a b c a b c ++= ．三．解答题（共7小题）8．（2018秋•南关区校级期中）已知||a a =-，||1b b =-，||c c =． （1）比较大小：a 0，b 0，c 0；（2）比较大小：a b + 0，a c - 0，b c - 0；（3）根据（1）、（2）问结论，化简||||||a b a c b c a b a c b c +---++--．9．（2018秋•启东市期中）已知：b 是最大的负整数，且a ，b ，c 满足2016||(4)0a b c ++-=，试回答问题：（1）请直接写出a ，b ，c 的值；（2）若a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在0到1之间运动时（即01)x ≤≤，请化简式子：|1||1|2|4|x x x +--+-．10．（2013秋•泗洪县校级月考）已知实数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简：||||||||a a b c b b c --+-+-．11．（2018秋•东营区校级月考）化简：|23||35||51|x x x -+--+12．（2017秋•沈丘县期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示3-和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -，如果表示数a 和2-的两点之间的距离是3，那么a = ．（2）若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，求|4||2|a a ++-的值．13．（2017秋•高新区期末）阅读材料：我们知道：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．所以式子|3|x -的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题：（1）若|3||1|x x -=+，则x = ；（2）式子|3||1|x x -++的最小值为 ；（3）若|3||1|7x x -++=，求x 的值．14．（2016秋•思明区校级期末）同学们都知道|5(2)|--表示5与(2)-之差的绝对值，也可理解为5与2-两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5(2)|--= ．（2）找出所有符合条件的整数x ，使得|5||2|7x x ++-=成立的整数是 ．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．【解答】解：8-的绝对值为|8|8-=．故选：C ．2．【解答】解：A ．一个数的绝对值等于它本身，这个数是正数或0，故选项A 不合题意； B ．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数或0，故选项B 不合题意； C ．负数绝对值越大，这个数越小，故选项C 不合题意；D ．两个负数，绝对值大的那个数反而小．正确．故选：D ．3．【解答】解：因为||3a =，所以3a =或3-，故选：C ．二．填空题（共4小题）4．【解答】解：30x -≥，3x ∴≤；故答案为3x ≤；5．【解答】解：35x <<30x ∴->，50x -<，|3|3x x ∴-=-，|5|5x x -=-|3||5|352x x x x ∴-+-=-+-=故答案为2．6．【解答】解：①当x ，y 中有二正，||112||x y x y +=+=； ②当x ，y 中有一负一正，||110||x y x y +=-=； ③当x ，y 中有二负，||112||x y x y +=--=-． 故代数式||||x y x y+的值是2或2-或0． 故答案为：2或2-或0．7．【解答】解：三个数a 、b 、c 是均不为 0 的三个数， 且0a b c ++=， a ∴，b ，c 三个数中必有一个或两个负数，①当a ，b ，c 三个数中只有一个负数时， 则1111||||||a b c a b c ++=+-=；②当a ，b ，c 三个数中有两个负数时，1111||||||a b c a b c ++=--+=-， 综上所述：1||||||a b c a b c ++=或1-， 故答案为： 1 或1-．三．解答题（共7小题）8．【解答】解：（1）因为||a a =-，||1b b =-，||c c =． 所以0a <，0b <，0c >，故答案为：<，<，>；（2）因为0a <，0b <，0c >，所以0a b +<，0a c -<，0b c -<，故答案为：<，<，<；（3）因为0a b +<，0a c -<，0b c -<， 所以||||||a b a c b c a b a c b c +---++-- a b a c b c a b a c b c+--=-+-+-- 111=-+-1=-．9．【解答】解：（1）b 是最大的负整数，2016||(4)0a b c ++-=， 1b ∴=-，1a b =-=，4c =；（2）01x ≤≤，10x ∴+>，10x -≥，40x -<，|1||1|2|4|1(1)2(4)8x x x x x x ∴+--+-=+--+-=．10．【解答】解：根据数轴化简得：||||||||23a a b c b b c a b a c b c b c b --+-+-=--++-+-=-．11．【解答】解：①当15x <-时，原式3253519x x x =-+-++=． ②当1352x -≤<时，原式325351107x x x x =-+---=-+．③当3523x ≤<时，原式23535161x x x x =-+---=-+． ④当53x ≥时，原式2335519x x x =-+---=- 12．【解答】解：（1）3；5；5-和1；（2）|4||2|a a ++-表示在4-与2之间的数到4-和2的距离的和，值为6． 故答案为：3；5；5-和1．13．【解答】解：（1）根据绝对值的意义可知，此点必在1-与3之间，故30x -<，10x +>， ∴原式可化为31x x -=+，1x ∴=；（2）根据题意，可知当13x -≤≤时，|3||1|x x -++有最小值． |3|3x x ∴-=-，|1|1x x +=+，|3||1|314x x x x ∴-++=-++=；（3）|3||1|7x x -++=，若3x >，则原式可化为(3)(1)7x x -++=，92x =； 若13x -≤≤，则(3)(1)7x x --++=，x 不存在；若1x <-，则(3)(1)7x x ---+=，52x =-； 92x ∴=或52x =-． 故答案为：1，4，92x =或52x =-． 14．【解答】解：（1）原式|52|7=+=故答案为：7；（2）令50x +=或20x -=时，则5x =-或2x = 当5x <-时，(5)(2)7x x ∴-+--=，527x x ---+=，5x =（范围内不成立）当52x -≤≤时，(5)(2)7x x ∴+--=，527x x +-+=，77=，54x ∴=--，，3-，2-，1-，0，1，2 当2x >时，(5)(2)7x x ∴++-=，527x x ++-=，24x =，2x =，2x =（范围内不成立）∴综上所述，符合条件的整数x 有：5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2； 故答案为：5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-有最小值为3．。