第三章 力系的平衡方程及其应用3-3在图示刚架中,已知kN/m 3=m q ,26=F kN ,m kN 10⋅=M ,不计刚架自重。
求固定端A 处的约束力。
032242234,0022,0022,01)(1i =∙-∙+--==-==-+=∑∑∑F F F M M MF F Fiy F F F FA FA AY AX x解得m kN 12kN 60⋅===A Ay Ax M F F ,,3-4杆AB 及其两端滚子的整体重心在G 点,滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上,如图所示。
对于给定的θ角,试求平衡时的β角。
B解:解法一:AB 为三力汇交平衡,如图所示ΔAOG 中βs i nl AO =, θ-︒=∠90AOG ,β-︒=∠90OAG ,βθ+=∠AGO 由正弦定理:)90sin(3)sin(sin θβθβ-︒=+l l ,)cos 31)sin(sin θβθβ=+l 即 βθβθθβs i n c o s c o s s i n c o s s i n3+= 即 θβt a n t a n2= )t a n 21a r c t a n(θβ= 解法二::0=∑x F ,0sin R =-θG F A(1)第三章 力系的平衡方程及其应用0=∑y F ,0cos R =-θG F B(2)0)(=∑F A M ,0sin )sin(3R =++-ββθl F lG B (3)解(1)、(2)、(3)联立,得 )t a n 21a r c t a n (θβ=3-5 由AC 和CD 构成的组合梁通过铰链C 连接。
支承和受力如图所示。
已知均布载荷强度kN/m 10=q ,力偶矩m kN 40⋅=M ,不计梁重。
解:取CD 段为研究对象,受力如图所示。
0)(=∑F CM,024=--q M F D ;kN 15=D F取图整体为研究对象,受力如图所示。
0)(=∑F AM ,01682=--+q M F F D B;kN 40=B F 0=∑yF ,04=+-+D BAyF q F F ;kN 15-=Ay F0=∑x F ,0=AxF解得kN 15kN 5kN 40kN 15===-=D C B A F F F F ;;;3-6如图所示,组合梁由AC 和DC 两段铰接构成,起重机放在梁上。
已知起重机重P1 = 50kN ,重心在铅直线EC 上,起重载荷P2 = 10kN 。
如不计梁重,求支座A 、B 和D 三处的约束反力。
解:(1)取起重机为研究对象,受力如图。
0)(=∑F F M ,0512P R =--W F F G ,kN 50R =G F(2)取CD 为研究对象,受力如图0)(=∑F C M ,016'R R =-G D F F ,kN 33.8R =D F(3)整体作研究对象,受力图(c )0)(=∑F A M ,0361012R P R =+--B D F F W F ,kN 100R =B F0=∑x F ,0=Ax F0=∑y F ,kN 33.48-=Ay F3-7 构架由杆AB ,AC 和DF 铰接而成,如图所示。
在DEF 杆上作用一矩为M 的力偶。
不计各杆的重量,求AB 杆上铰链A ,D 和B 所受的力。
解 对整体(图(a )),有∑∑=--===02,0)00M aF F M F X By CBx(,解得 aM F F By Bx 2,0-== 再研究DEF 杆(图(b )),有∑∑∑=++==++==+=0,00,002,0)(AyDyByAxDxBxDxBxAF F F Y F F F X aF aF F M 解得 aM F F F Ay Dx Ax 2,0-===3-8 图示构架中,物体P 重1200N ,由细绳跨过滑轮E 而水平系于墙上,尺寸如图。
不计杆和滑轮的重量,求支承A 和B 处的约束力,以及杆BC 的内力F BC 。
解:(1)整体为研究对象,受力图(a ),W F =T0=∑A M ,0)5.1()2(4T R =--+-⋅r F r W F B ,N 1050R =B F0=∑x F ,N 1200T ===W F F Ax 0=∑y F ,N 501=Ay F(2)研究对象CDE (BC 为二力杆),受力图(b )0=∑D M ,0)5.1(5.1sin T =-+⋅+⨯r F r W F BC θN 1500541200sin -=-=-=θW F BC (压力)3-9 图示结构中,A 处为固定端约束,C 处为光滑接触,D 处为铰链连接。
已知N 40021==F F ,m N 300⋅=M ,mm 400==BC AB ,mm 300==CE CD ,︒=45α,不计各构件自重,求固定端A处与铰链D处 的约束力。
解 先研究DCE 杆,如图(a ),由,0)(,00011x =∙--∙==-+===∑∑∑DE F M CD FF M F FF Y F X NcDDy NcD ,解得 N F N F F NC D y D x 1800,1400,0=-==再研究ABC 杆,如图(b ),由45sin ,0)(045sin ,0045cos 0222=∙++︒∙==-︒-==︒-=∑∑∑AB F MAC F F M F F F Y F F X ANCANCAyAx,解得 m N M N F N F A Ay Ax ∙-===1178,2083,22003-10 图示结构由直角弯杆DAB 与直杆BC 、CD 铰接而成,并在A 处与B 处用固定铰支座和可动铰支座固定。
杆DC 受均布载荷q 的作用,杆BC 受矩为2qa M =的力偶作用。
不计各构件的自重。
求铰链D 受的力。
解先研究BC杆,受力如图(b),由0=-=∑MaFFMCxB,)(得qaFCx=CD杆受力如图(a),由∑∑=-==+=2,0)(xDyCCxDaFaqaFMFFX,解得qaFqaFqaFDDyDx25,21,==-=3-11 图示构架,由直杆BC,CD及直角弯杆AB组成,各杆自重不计,载荷分布及尺寸如图。
在销钉B上作用载荷P。
已知q、a、M、且2qaM=。
求固定端A的约束力及销钉B对BC 杆、AB杆的作用力。
解 先研究CD 杆如图(b ),由02a 0=-=∑aqa F F M Cx D ,)( 解得 qa F Cx 21=研究BC 杆(包括销钉B ),受力如图(d ),由∑∑∑=∙-+-==-==-∙+=03213,0)(0003210y x x aa q aF aF M F M F F Y F a q F X BAxBAy A A BAy A BA A ,,解得A 处约束反力a qa P M qa P F qa F A Ay Ax )(,,+=+=-=研究销钉B 如图(e ),图中x BC F 、BCy F 是BC 杆对销钉B 的作用力,000=-+==+=∑∑P F FY F F X BCy BAyBCx BAx,解得 qa F qa F BCy BCx -=-=,213-12无重曲杆ABCD 有两个直角,且平面ABC 与平面BCD 垂直。
杆的D 端为球铰支座,A 端为轴承约束,如图所示。
在曲杆的AB 、BC 和CD 上作用三个力偶,力偶所在平面分别垂直于AB 、BC 和CD 三线段。
已知力偶矩M 2和M 3 ,求使曲杆处于平衡的力偶矩M 1和D A 、处的约束力。
解:如图所示:∑==0,0D x xF F∑=0yM ,012=⋅-d F M Az ,12d M F Az=∑=0z F ,12d M F Dz -= ∑=0zM,013=⋅+d F M Ay ,13d M F Ay-= ∑=0yF13d M F Dy =∑=0x M 0231=⋅+⋅--d F d F M Az Ay ,2123131M d dM d d M +=3-13在图示转轴中,已知:Q=4KN ,r=0.5m ,轮C 与水平轴AB 垂直,自重均不计。
试求平衡时力偶矩M 的大小及轴承A 、B 的约束反力。
解:m KN M Qr M M y∙==-=∑2,0,00,0==∑AYN Y026,0=∙-∙=∑Q N M BzxKN N BZ 34=∑==0,0BXzN M 0,0==∑AX N XKN N Q N N Z AZ BzAZ38,0,0==-+=∑3-14匀质杆AB 重Q 长L ,AB 两端分别支于光滑的墙面及水平地板上,位置如图所示,并以二水平索AC 及BD 维持其平衡。
试求(1)墙及地板的反力;(2)两索的拉力。
解:Q NZ B==∑0∑=0XM06030sin 2130sin =︒∙-︒∙-︒∙BDtg S BD Q BD N c B Q S C 144.0=∑=0YM06060sin 2160sin =︒∙+︒∙+︒∙-BDtg N BD Q BD N A B Q N A 039.0=0=∑Y 060cos =+︒-C BS SQ S B 288.0=3-14 平面悬臂桁架所受的载荷如图所示。
求杆1,2和3的内力。
解 用截面法取分离如图(b ),由4222,0)(0642,0)211=--+-∙-==---∙-=∑∑F F F F CD F F M F F F AB F F M CA (解得 F F F F 2,333.521=-=再研究节点B ,受力如图(c )由,0sin 032=-+=∑F F FY θ,得F F 667.13-=3-15 平面桁架的支座和载荷如图所示。
ABC 为等边三角形,E ,F 为两腰中点,又AD=DB 。
求杆CD 的内力CD F 。
ED 为零杆,取BDF 研究,F CD =-0.866F3-16 桁架受力如图所示,已知kN 101=F ,kN 2032==F F 。
试求桁架4,5,7,10各杆的内力。
解 先研究整体如图(a ),由2.14260sin 5,0)(060sin ,0060cos 0321213x=---︒==︒+--==+︒-=∑∑∑aF aFaF aF F M F F F F Y F F F X BABAyBA ,解得KNF KN F KN F Ay Ay B 197.568.5,64.28=-==再用截面法取分离体如图(b ),由cos ,00sin ,002.1,0)(87676=+++==+==-∙-=∑∑∑F F F F X F F Y aF F a F M AxAyAyEθθ解得KNF KN F KN F 35.14771.6,33.4876=-=-=最后研究节点G ,如图(c ),由0,00019810=-==-=∑∑F F Y F F X ,解得 KN F KN F 35.14,10109==3-17 平面桁架的支座和载荷如图所示,求杆1,2和3的内力。