数列易错题分析一、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-).2(),1(11n S S n S a n n n 若a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为n d a n d S n )2(212-+=，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2d ，则n S ＝An 2+Bn. 6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲1．设s n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知s 6=36, s n =324, s 6-n =144 (n >6),则n=( )A 15B 16C 17D 18正确答案：D 错因：学生不能运用数列的性质计算a 1+a n =614432436-+ 2．已知s n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 2+a 4+a 15是一个确定的常数，则数列｛s n ｝中是常数的项是（ ）A s 7B s 8C s 11D s 13正确答案: D 错因：学生对等差数列通项公式的逆向使用和等差数列的性质不能灵活应用。
3．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（ ）A. 22B. 21C. 19D. 18解：设该数列有n 项且首项为a 1，末项为a n ，公差为d则依题意有51034151014622234311a d a d a a n n n +=-=+⋅=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()()()12+可得a a n 136+=代入(3)有n =13 从而有a a 11336+=又所求项a 7恰为该数列的中间项∴=+==a a a 7113236218故选D 说明：虽然依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，但将a a n 1+作为一个整体，问题即可迎刃而解。
在求a 7时，巧用等差中项的性质也值得关注。
知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。
4．数列{}n a 的前n 项和为s n =n 2+2n-1， 则a 1+a 3+a 5+……+a 25=( )A 350B 351C 337D 338正确答案：A错因：不理解该数列从第二项起向后成等差数列。
5、已知三个互不相等实数a,b,c 成等差数列，那么关于x 的方程220ax bx c ++= A ，一定有两个不相等的实数根 B ，一定有两个相等的实数根C, 一定没有实数根 D ，一定有实数根正确答案：D错因：不注意ａ＝０的情况。
6、已知等差数列｛a n ,｝的前n 项和为s n ，且S 2=10,S 5=55,则过点P(n,s n n )，Q(n+2,S n+2n+2)(n ∈N+*)的直线的斜率为A 、4B 、3C 、2D 、1正确答案： D错因：不注意对和式进行化简。
7、在等差数列}{n a 中，11011-<a a ，若它的前n 项和Sn 有最大值，那么}{n S 中的最小正数是（ ）A 、S 17B 、S 18C 、S 19D 、S 20答案：C 错解：D错因：11011-<a a 化简时没有考虑a 10的正负。
8、从集合{}1,2,3,4,,20⋅⋅⋅中任取三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有_________[错解]90个[错解分析]没有考虑公差为负的情况,思考欠全面[正解]180个9、设等差数列}{n a 中，31-=a ，且从第5项开始是正数，则公差的范围是错解：)43∞+，（错因：忽视04≤a ，即第4项可为0。
正解：]143，（ 10、设数列的前n 项和为224()n S n n n N +=++∈，求这个数列的通项公公式[错解] ()1,21n n n n a S S a n n N -*=-∴=+∈[错解分析]此题错在没有分析1n =的情况，以偏概全．误认为任何情况下都有()1n n n a S S n N *-=-∈[正解] 1111,S 7,221n n n n a n a S S n -===≥=-=-时时,因此数列的通项公式是()()17221n n a n n =⎧=⎨≥+⎩ 11、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n —1=0（n ≥2），a 1=21， （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1成等差数列；（2）求a n 的表达式。
解：（1）当n ≥2时，a n =S n －S n －1，又a n +2S n S n －1=0，∴S n －S n －1+S n S n －1=0若S n =0，则a 1=S 1=0与a 1=21矛盾，∴S n ≠0，∴2111=--n n S S ，又211=S ∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1成等差数列。
（2）由（1）知：n S n 21=，nS n 21= 当n ≥2时，a n =－2S n S n －1=－)1(21-n n ，当n=1时，a 1=21∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=)1(2121n n a n 21≥=n n 点评：本题易错点忽视公式a n =S n －S n －1成立的条件“n ≥2”，导致（2）的结果)1(21--=n n a n 12、已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.错解：（1）a n =3n+7;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n 项之和.错因：误把最后一项（含n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a 1=10≠1,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）a n =3n －2;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.13、已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。
错解： ① 34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n② n n n n n a n 21)1()1(122=-----++=错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a n ＝S n －S n-1与的关系，没注意a 1=S 1. 正解： ①当1=n 时，111==S a当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n②当1=n 时，311==S a当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(122=-----++=∴ ⎩⎨⎧=n a n 23 )2()1(≥=n n14、 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
错解：S 30= S 10·2d. ∴ d ＝30， ∴ S 40= S 30+d =100.错因：将等差数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等差数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等差数列.正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+7022930301029101011d a d a 得152,521==d a 代入得S 40 ＝1204023940401=⨯⨯+d a 。
15、等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若),(27417+∈++=N n n n T S n n 求77b a ； 错解：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令a n =7n+1;b n =4n+27.1110277417777=+⨯+⨯=∴b a 错因：误认为=nn T S n n b a 正解：79922713411371313777777=+⨯+⨯==++=∴T S b b a a b a 16、已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和； 错解：由a n ≥0得n ≤5∴ {}n a 前5项为非负，从第6项起为负，∴ S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=50(n ≤5)当n ≥6时，S n =｜a 6｜+｜a 7｜+｜a 8｜+…+｜a n ｜＝2)5)(520(--n n ∴ S n =⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤6,2)5)(520(5,50n n n n 错因：一、把n ≤5理解为n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和.正解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2)545(n n n n n n17、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？解：理由如下：由题设： 31010=S 122020=S得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a ⎩⎨⎧==⇒641d a ∴ n n n n n S n +=⨯-+=2362)1(4 17、已知：n n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？解：（1） ⎩⎨⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 10242lg 1024<<⇒+≤<⇒n n ∴3402=n（2） 0)2lg (2)1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小令：0=n S 即 1024+0)2lg (2)1(=--n n 得：99.680412lg 2048≈+=n ∵ +∈N n ∴6805=n18、项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。