数列中的易错问题分析11,112,22nn S n n n S S n k b -=⎧==≥⎨-≥⎩=+n n n n n+1n n n+1n nn+1n n一、数列基础知识上的常见错误在数列概念考察上常见题型有：（1）已知a 与S 的关系，求通项a ，a 注意分清与两种情况的讨论。

（）形如a -a =f(n)的递推数列可用迭代法或累加法，求通项a a 形如=f(n)的递推数列可用累乘法，求通项a a 形如a a 的递推数列可构造等差或等比数列求通项a （一） 概念理解错误 例题1：两个数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且:(513):(45)n n S T n n =++，则1010:a b =（ ）易错警示：(513),(45)n n S n k T n k =+=+则115,4n n n n n n a S S k b T T k --=-==-=所以1010:a b =4:3，故选C ，从:(513):(45)n n S T n n =++可知，比值:n S (513)n +=n T :(45)n +随着项数n 的变化而变化，不能设为常数k ，这里忽略了项数n 的可变性而致错。

解析：设(513),(45)n n S n nk T n nk =+=+，则1(108)n n n a S S n k -=-=+1(81)n n n b T T n k -=-=+，其中2n ≥:n n a b ∴=(108):(81)n n ++所以1010:a b =4:3，故选D 。

例题2：已知等差数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ，若230,90m m S S ==，求3m S 。

易错警示：由{}n a 为等差数列，得出23,,m m m S S S 为等差数列的结论是错误的。

解析：设数列的公差为d ，则123......m m S a a a a =++++212312...........m m m m S a a a a a a +=+++++++31232213...........m m m m S a a a a a a +=+++++++11()2m m S a m -=+2131()2m m m S S a m --=+32151()2m m m S S a m --=+所以232,,m m m m m S S S S S --是公差为2m d 的等差数列， 所以()2322m m m m m S S S S S -=+- 即32(9030)3090m S ⨯-=+-3180m S ∴=（二） 公式应用错误例题3:已知数列{}n a ，111,2n n n a a a +=-=，求数列{}n a 的通项公式。

易错警示：错因一：知识残缺，忽视n=1时的检验。

错因二：未明确规律，累加时误认为是n 个式子相加而导致求和错误。

解析：由12n n n a a +-=得12123234311222.......2n n n a a a a a a a a ---=-=-=-=将这n-1个式子相加，得2311222.......2n n a a --=++++ 21n n a ∴=-，当n=1时，此式子仍旧成立。

所以通项公式为21n n a ∴=-。

例题4：已知数列{}n a 的前项和为n S ，32n n S =-求数列{}n a 的通项公式。

易错警示：在利用公式1n n n a S S -=-解题时一定要注意只有2n ≥时才能成立，当n=1要单独验证，这一点易被忽视，从而得出123n n a -=错误结论。

解析：当n=1，111a S ==当2n ≥时1n n n a S S -=-132(32)n n -=---123n -=，由于11a =不适合上式，因此数列{}n a 的通项公式为11,(1)23(2)n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（三） 审题不细例题5：在等差数列{}n a 中，331n a n =-，记||n n b a =，求数列{}n b 的前30项和。

易错警示：这里易错点是{}n b 也为等差数列，而解题的关键是绝对值号内的n a 的正负号进行讨论，当10n ≤时，0,11n a n <≥时，0n a >。

解析：3012330||||||......||S a a a a =++++1231011121330(......)(......)a a a a a a a a =-+++++++++110113010()20()22a a a a ++=-+=755 （四） 用特殊代一般 例题5：求数列2311,3,5,7,......(21),.....(0)n a a a n a a --≠的前n 项和。

易错警示：由于1(21)n n a n a -=-(*)n N ∈，23211357......(23)(21)n n n S a a a n a n a --=+++++-+-n aS = 2341357......(23)(21)n n a a a a n a n a -+++++-+-两式相减得231(1)1222.....2(21)n n n a S a a a a n a --=+++--=12(21)11nn a n a a ----- 21(21)12(1)1n n n a n a S a a--+∴=--- 解析：上述解法只适合的情形，事实上，当1a =时1357......(23)(21)n S n n =+++++-+-2(121)2n n n +-==所以221(21)12,1(1)1,1n n n a n a a a a S n a ⎧--+-≠⎪--=⎨⎪=⎩（五） 忽视分类讨论思想致误例题：设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q 。

易错警示：由，整理得时，应有。

在等比数列中，是显然的，但是公比q 是可以为1的，因此在解题时应先讨论公比q 能否为1。

解析;若1q =，则有3161913,6,9S a S a S a ===，但是10a ≠即得3692S S S +≠与题设矛盾，故1q ≠又由题意得3692S S S +=即369111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q ---+=---363(21)0q q q ∴--=即33(21)(1)0q q +-=因为1q ≠，所以310q -≠ 所以321q +=0，解得q = 二、数列综合题易错题分析例题1：已知23123()......n n f x a x a x a x a x =+++，对任意*n N ∈都有2(1)f n =，（1） 证明：若n 为正偶数有(1)f n -=（2） 求证：1()32f <易错警示：（1）已知数列n S ，求n a 。

要分n=1和1n ≠；（2）若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求{}n n a b 的前n 项和时用错位相减，但是不要漏掉最后一项。

解析：2(1),f n =2123(1)......n f a a a a n ∴=+++=1121n n S S n -∴==-=-11n 当n=1时,a =S 当n>1时,a当n=1时也适合上式所以=n a 21n -23()35......(21)n f x x x x n x ∴=+++-(1)(1)1357911......21n f n n-=-+-+-+-+-=当为正偶数时23411111111()3()5()7()......(23)()(21)()2222222n n f n n -=++++-+- 11()22f = 23451111111()3()5()7()......(23)()(21)()222222n n n n +++++-+- 234111111111(1)()2()()()......()(21)()22222222n n f n +⎡⎤∴-=+++++--⎢⎥⎣⎦即231111111()21()()()......()(21)()1222222n n f n -⎡⎤=+++++---⎢⎥⎣⎦11()122(21)()1122nn n ----=13(32)()2n n -+3< 例题2：已知数列{}n a 是递增数列且2n a n n λ=+，求实数λ的取值范围。

易错警示：因为2n a n n λ=+为n 的二次函数，它的对称轴方程为2n λ=-，所以若使数列为递增数列，则必须使2λ-1≤，即得2λ≥-。

本题的陷阱“在2λ-1≤，它只是数列为递增数列的充分条件，并非为必要条件，所以解此题用此法是错误的。

解析：因为数列{}n a 是递增数列所以1n n a a +<对所有的正整数都成立。

2n n λ+即 < 211n n λ+++（）（）对所有的正整数恒成立,则>-(2n+1)λ 又因为*n N ∈所以>-3λ例题3：已知数列为等差数列，{}2log (1)(*)n a n N -∈且133,9a a ==。

（1） 求数列{}n a 的通项公式。

（2） 证明：21324354111111......1n na a a a a a a a a a ++++++<-----易错题分析：错因一：{}2log (1)n a -是等差数列，只要知到首项与公差可知2log (1)n a -，学生对概念理解不透，往往只想求2log (1)n a -的通项公式，而忽视从三项入手。

错因二：设2log (1)n n b a =-，{}n b 是等差数列，由题意得13,b b ，而不是12,b b ，此处容易发生审题错误，以为求的是12,b b 。

解析：（1）设，则{}n b 是等差数列，所以{}n b 是以1为首项，以1为公差的等差数列n b n ∴= 即2log (1)n a -n = 1221n n n n a a ∴-=∴=+证明：1121(21)2n n n n n a a ++-=+-+=，即1112n n n a a +=-21324354111111......n na a a a a a a a a a +∴+++++----- 231111.....2222n =++++111122111212n n⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-<-。