高二数学 第二章 第2节 椭圆（理）知识精讲 人教新课标A 版选修21一、学习目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质。
2、能力目标：培养学生的解析几何观念；培养学生的观察、概括能力，以及类比的学习方法；培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、重点、难点：重点：掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质，并会利用椭圆的几何性质解决一些问题。
难点：对椭圆的定义和几何性质的灵活应用，会处理有关椭圆焦点三角形的问题，并能与正余弦定理相结合。
能用坐标法解决简单的直线与椭圆的位置关系等问题。
三、考点分析：本节课我们主要学习熟练掌握椭圆的定义及其两种标准方程，会用待定系数法确定椭圆的方程，以及对椭圆的简单几何性质的运用。
初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法，同时掌握一些直线与椭圆的位置关系的运用。
1、对椭圆第一定义的理解在椭圆的第一定义中，平面内动点与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数，当这个常数大于|F 1F 2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当这个常数小于|F 1F 2|时，动点不存在。
2、椭圆的第二定义：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个小于1的正常数e ，这个点的轨迹是椭圆。
定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：（1）定点必须在直线外。
（2）比值必须小于1。
（3）符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定是椭圆，但它不一定具有标准方程的形式。
（4）椭圆离心率的两种表示方法：c P F e a P F ==椭圆上任意一点到焦点的距离点到与对应的准线的距离准线方程为：椭圆焦点在x 轴 2a x c =±椭圆焦点在y 轴 ca y 2±=3、椭圆的标准方程椭圆方程图形特征几何性质范围顶点焦点准线对称性长短轴离心率焦半径4、常用的公式及结论：（1）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较其与2x、2y项分母的大小即可。
若2x项分母大，则焦点在x轴上；若2y项分母大，则焦点在y轴上。
（2）对于椭圆的两种标准方程，都有0ba>>，焦点都在长轴上，且a、b、c始终满足222bac-=（3）求曲线方程的一般方法步骤：建系设点→列等式→代坐标→化简方程5、直线与椭圆的位置关系掌握直线与椭圆的位置关系，通过对直线方程与椭圆方程组成的二元二次方程组的解来讨论它们的位置关系。
（1）若方程组消元后得到一个一元二次方程，则根据Δ来讨论。
（2）对于直线与椭圆的位置关系，还可以利用“数形结合，以形助数”的方法来解决。
弦长公式：|AB|＝[]212212212xx4)xx()k1(|xx|k1-+⋅+=-⋅+若用k，y1及y2表示|AB|，则|AB|＝)0k(|yy|1k1212≠-⋅+知识点一求椭圆的标准方程例1：已知椭圆两个焦点的坐标分别是()20-，，()20，，并且经过点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程。
思路分析：1）题意分析：本小题主要考查椭圆标准方程的求解。
2）解题思路：思路1：利用椭圆定义求解；思路2：先根据已知条件设出焦点在y轴上的椭圆方程的标准方程12222=+bx a y ()0>>b a 。
解答过程：解法1：结合定义，利用椭圆上的点⎪⎭⎫⎝⎛-2523，到两个焦点()20-，、()20，的距离之和为常数2a ，求出a 的值，再结合已知条件和a 、b 、c 间的关系求出2b 的值，进而写出标准方程为16x 10y 22=+；解法2：先根据已知条件设出焦点在y 轴上的椭圆方程的标准方程12222=+b x a y ()0>>b a ，再将椭圆上点的坐标⎪⎭⎫⎝⎛-2523，代入此方程，并结合a 、b 、c 间的关系求出2a 、2b 的值，从而得到椭圆的标准方程为161022=+x y 。
解题后的思考：对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解。
例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程：已知椭圆的两焦点的距离为6，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为10。
思路分析：1）题意分析：该题考查焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程，以及对c b a ,,间关系的掌握情况。
2）解题思路：结合椭圆的定义以及两种标准方程，运用待定系数法求解。
解答过程： 解：（1）∵当椭圆的焦点在x 轴上时，设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x ∵62,102==c a ∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x 。
（2）当椭圆的焦点在y 轴上时，设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a b x a y ∵62,102==c a ∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+x y 。
解题后的思考：本题考查运用椭圆的几何性质求解椭圆的标准方程，应注意对焦点位置的确定，然后用待定系数法进行求解运算。
例3：求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点在x 轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）。
（2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P （0，－10），点P 到离它较近的一个焦点的距离等于2。
思路分析：1）题意分析：考查对椭圆的几何性质和待定系数法求方程思想方法的运用，以及椭圆上离焦点最近的点为长轴的一个端点等基本知识。
2）解题思路：先设出椭圆的标准方程，注意标明a ，b 的大小，然后把已知条件代入求解。
解答过程：解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a b y a x ∵椭圆经过点（2，0）和（0，1）∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14a 1101022222222b b a b a 故所求椭圆的标准方程为1422=+y x （2）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a b x a y ∵P （0，－10）在椭圆上，∴a ＝10。
又∵P 离到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －（－10）＝2，故c ＝8。
∴36222=-=c a b 。
∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y 。
解题后的思考：（1）由标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点的横坐标（或纵坐标）实际即为a 与b 的值。
（2）椭圆长轴的端点距焦点最远（a ＋c ）或最近（a －c ）。
例4：已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程。
思路分析：1）题意分析：考查焦点不确定的椭圆标准方程的求解2）解题思路：一般将方程设为),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+然后代点求解。
解答过程：解：设椭圆的标准方程为),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1)25()23(2222n m nm ，解得 10,6==n m 。
所以，所求椭圆的标准方程为110622=+y x 解题后的思考：对于过两点的椭圆方程的求解要注意用一般式,0m (1ny m x 22>=+)n m ,0n ≠>来设，这样可避免对焦点所在位置进行讨论。
知识点二 运用椭圆的定义求解轨迹方程例5：已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程。
思路分析：1）题意分析：本题考查对椭圆定义的灵活运用，以及求解轨迹方程的考查。
2）解题思路：先分析已知中两点B ，C 与所求点的关系，然后结合椭圆的定义进行求解。
解答过程：以B 、C 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|＋|AC|＝10。
再根据椭圆定义得4,3,5===b c a 。
所以顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x （y ≠0）（特别强调检验） （因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件。
）解题后的思考：注意在求轨迹问题时，我们首先要考虑用定义法，然后再考虑用直接法来求解。
这样做既快又省时。
知识点三 直线与椭圆的位置关系的运用例6：已知（4，2）是直线l 被椭圆362x ＋92y ＝1所截得的线段的中点，则直线l 的方程是____________。
思路分析：1）题意分析：本题考查直线与椭圆相交时，相交弦所在直线方程的求解问题。
2）解题思路：先设出弦的端点坐标，然后结合点差法得到直线斜率与相交弦中点坐标的关系式，从而求得斜率。
解答过程：解：设直线l 与椭圆交于P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）两点，将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程并相减得出直线l 斜率k ＝2121x x y y --＝－)(42121y y x x ++＝－2422121y y x x +⋅+＝－244⨯＝－21。
由点斜式可得直线l 的方程为x ＋2y －8＝0。
解题后的思考：本题也可以运用点斜式设出直线方程，再联立方程组，得到一个一元二次方程，结合韦达定理表示中点坐标得到k ，进而求出直线方程。
例7：求过点（0，2）的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程。
思路分析：1）题意分析：本题考查直线与椭圆相交时，相交弦中点的轨迹方程的求解。
2）解题思路：设出直线方程，然后联立方程组得到中点坐标与斜率k 之间的关系式，再利用消去参数法，求出轨迹方程。
解答过程：解：设直线方程为y ＝kx ＋2， 把它代入x 2＋2y 2＝2，整理得（2k 2＋1）x 2＋8kx ＋6＝0。
要使直线和椭圆有两个不同的交点，则Δ＞0，即k ＜－26或k ＞26。
设直线与椭圆的两个交点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），中点坐标为C （x ，y ），则x ＝221x x +＝1242+-k k ，y ＝ 1k 2k 422+-＋2＝1222+k 。
x ＝1242+-k k ，由参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=1k 22y ,1k 2k 4x 22（k ＜－26或k ＞26），消去k 得x 2＋2（y －1）2＝2，且｜x ｜＜26，0＜y ＜21。
（也可利用点差法，但应注意取值范围）解题后的思考：注意对于联立方程组，结合韦达定理解决问题时，我们不要忽略判别式对参数的制约条件，否则求解后容易出现多解，不够准确。
例8：已知：椭圆1222=+y x 及点B （0，－2）过左焦点F 1与B 的直线交椭圆于C 、D 两点，椭圆的右焦点为F 2，求△CDF 2的面积。