专题09 动态几何2021届中考数学压轴大题专项训练（解析版）1．在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？【解析】解：设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP＝t，QC＝2t，BQ＝6﹣2t，∥AD∥BC所以AP∥BQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，知：AP＝BQ即可，即：t＝6﹣2t，∥t＝2，当t＝2时，AP＝BQ＝2＜BC＜AD，符合，综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．△，点F落在AD上．2．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，BCE沿BE折叠为BFE（1）求证：ABF DFE ∽△△；（2）若1sin 3DFE ∠=，求tan EBC ∠的值； （3）设AB k BC=，是否存在k 的值，使ABF 与BFE △相似？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：∥四边形ABCD 是矩形，∥90A D C ∠=∠=∠=︒，∥BCE 沿BE 折叠为BFE △，∥90BFE C ∠=∠=︒，∥90AFB DFE ∠+∠=︒，又∥90AFB ABF ∠+∠=︒，∥ABF DFE =∠∠．∥ABF DFE ∽△△；（2）解：在Rt DEF △中，1sin 3DE DFE EF ∠==，∥设DE a =，3EF a =，DF ==，∥BCE 沿BE 折叠为BFE △， ∥3CE EF a ==，4CD DE CE a =+=，4AB a =，EBC EBF ∠=∠，又∥ABF DFE ∽△△，∥2EF DF BF AB ==，∥tan 2EF EBF BF ∠==，tan tan EBC EBF ∠=∠=；（3）存在，k =时，ABF 与BFE △相似 理由：当ABF FBE △∽△时，24∠∠=．∥45∠=∠，24590∠+∠+∠=︒，∥24530∠=∠=∠=︒，∥cos302AB BF =︒=， ∥BC BF =，∥2AB k BC ==；∥当ABF FEB ∽△△时，26∠=∠，∥4690∠+∠=︒，∥2490∠+∠=︒，这与24590∠+∠+∠=︒相矛盾，∥ABF FEB ∽△△不成立．综上所述，k =时，ABF 与BFE △相似．3．如图，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线1C ：2y ax bx =-(0a ＜)经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S ；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E F 、(点E 在点F 的左侧)，如果MBF 与AOM 相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式．【解析】解：（1）过A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，∥2OB =，∥0(2)B ，∥120AOB ∠=︒∥60AOH ∠=︒，30HAO ∠=︒．∥2OA =， ∥112OH OA ==． 在Rt AHO 中，222OH AH OA +=，∥AH ==∥(1A -，∥抛物线1C ：2y ax bx =+经过点A B 、，∥可得：420a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：33a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∥这条抛物线的表达式为233y x x =-+；（2）过M 作MG x ⊥轴，垂足为G ，∥233y x x =-+=21)33x --+ ∥顶点M是1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，得MG =设直线AM 为y=kx+b ，把(A -，1,3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入得k b k b =-+=+，解得33k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∥直线AM为y x =-令y=0，解得x=12∥直线AM 与x 轴的交点N 为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭∥111111××222222AOM S ON MG ON AH =⋅-⋅=+ （3）∥0(2)B ，、M ⎛ ⎝⎭，∥在Rt BGM中，tan MG MBG BG ∠==， ∥30MBG ∠=︒．∥150MBF ∠=︒．由抛物线的轴对称性得：MO MB =，∥150MBO MOB ∠=∠=︒．∥120AOB ∠=︒，∥150AOM ∠=︒∥AOM MBF ∠=∠．∥当MBF 与AOM 相似时，有：=OM BM OA BF 或=OM BF OA BM即332BF =或32= ∥2BF =或23BF =． ∥0(4)F ，或803⎛⎫ ⎪⎝⎭，设向上平移后的抛物线2C 为：2y x k =++，当0(4)F ，时，3k =，∥抛物线2C 为：2y x =+当803F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，27k =，∥抛物线2C 为：2y x x =++综上：抛物线2C 为：2y x x 333=-++或23327y x x =-++ 4．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．观察猜想（1）线段PM 与PN “等垂线段”（填“是”或“不是”）猜想论证（2）ADE ∆绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．拓展延伸（3）把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．【解析】（1）是；∥AB AC =，AD AE =∥DB=EC ，∥ADE=∥AED=∥B=∥ACB∥DE∥BC∥∥EDC=∥DCB∥点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点∥PM∥EC ，PN∥BD ，11,22PM EC PN BD == ∥PM PN =，∥DPM=∥DCE ，∥PNC=∥DBC∥∥DPN=∥PNC+∥DCB∥∥MPN=∥DPM+∥DPN=∥ACD+∥DCB+∥B=180°-90°=90°∥线段PM 与PN 是“等垂线段”；（2）由旋转知BAD CAE ∠=∠∥AB AC =，AD AE =∥ABD ∆∥ACE ∆（SAS ）∥ABD ACE ∠=∠，BD CE = 利用三角形的中位线得12PN BD =，12PM CE =，由中位线定理可得//PM CE ，//PN BD∥DPM DCE ∠=∠，PNC DBC ∠=∠∥DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠∥MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠∥90BAC ∠=∥90ACB ABC ∠+∠=∥90MPN ∠=∥PM 与PN 为“等垂线段”；（3）PM 与PN 的积的最大值为49；由（1）（2）知，12PM PN BD == ∥BD 最大时，PM 与PN 的积最大∥点D 在BA 的延长线上，如图所示：∥14BD AB AD =+=∥249PM PN PM •==.5．数轴上点A 表示的有理数为20，点B 表示的有理数为-10，点P 从点A 出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动，到达点B 后立即返回，返回过程中的速度是每秒2个单位长度，运动至点A 停止，设运动时间为t （单位：秒）．（1）当t =5时，点P 表示的有理数为 ．（2）在点P 往左运动的过程中，点P 表示的有理数为 （用含t 的代数式表示）．（3）当点P 与原点距离5个单位长度时，t 的值为 ．【解析】（1）由题意得：()201030AB =--=，点P 从点A 运动到点B 所需时间为30655AB ==（秒）， 点P 从点B 返回，运动到点A 所需时间为301522AB ==（秒）， 则当56t =<时，5525PA =⨯=， 因此，点P 表示的有理数为20255-=-，故答案为：5-；（2）在点P 往左运动的过程中，5PA t =，则点P 表示的有理数为205t -，故答案为：205t -；（3）由题意，分以下两种情况：∥当点P 从点A 运动到点B ，即06t ≤≤时，由（2）可知，点P 表示的有理数为205t -，则2055t -=，即2055t -=或2055t -=-，解得3t =或5t =，均符合题设；∥当点P 从点B 返回，运动到点A ，即615t <≤时，()26PB t =-，点P 表示的有理数为()2610222t t --=-， 则2225t -=，即2225t -=或2225t -=-，解得13.5t =或8.5t =，均符合题设；综上，当点P 与原点距离5个单位长度时，t 的值为3或5或8.5或13.5时，故答案为：3或5或8.5或13.5．6．如图，∥ABC 中，∥ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A -B -C -A 运动，设运动时间为t （t ＞0）秒．（1）AC= cm ；（2）若点P 恰好在∥ABC 的角平分线上，求此时t 的值；（3）在运动过程中，当t 为何值时，∥ACP 为等腰三角形．【解析】（1）由题意根据勾股定理可得：6AC ==（cm ），故答案为6；（2）如图，点P 恰好在∥ABC 的角平分线上，过P 作PD∥AB 于点D ，则可设PC=xcm ，此时BP=（8-x ）cm ，DP=PC=xcm ，AD=AC=6cm,BD=10-6=4cm ，∥在RT∥BDP 中，222BD PD BP +=，即 ()22248x x +=-，解之可得：x=3，∥BP=8-3=5cm ，∥P 运动的路程为：AB+BP=10+5=15cm ， ∥t=157.52=s ； （3）可以对∥ACP 的腰作出讨论得到三种情况如下：∥如图，AP=AC=6cm ，此时t=632=s ；∥如图，PA=PC ，此时过P 作PD∥AC 于点D ，则AD=3，PD=4，∥AP=5，此时t=52.52=s；∥如图，PC=AC=6cm，则BP=8-6=2cm，则P运动的路程为AB+BP=10+2=12cm，此时t=1262=s，综上所述，在运动过程中，当t为2.5s或3s或6s时，∥ACP为等腰三角形．7．已知，在平面直角坐标系中，AB∥x轴于点B，A(a，b)4b-＝0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．OA∥CB．（1）填空：a＝_______，b＝_______，点C的坐标为_______；（2）如图1，点P(x，y)在线段BC上，求x，y满足的关系式；（3）如图2，点E是OB一动点，以OB为边作∥BOG＝∥AOB交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在OB上运动时，OFC FCGOEC∠+∠∠的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【解析】解：（1）∥ 40b -=，∥60,40a b -=⎧⎨-=⎩∥6,4a b =⎧⎨=⎩ 4,6,AB OB ∴==由平移得：4,OC =且C 在y 轴负半轴上，()0,4,C ∴-故答案为：()6,4,0,4-；（2）如图，过点P 分别作PM ∥x 轴于点M ，PN ∥y 轴于点N ，连接OP ．∥AB∥x 轴于点B ，且点A ，P ，C 三点的坐标分别为：()()()6,4,,,0,4,x y -∥OB=6，OC=4，,,PM y PN x =-= ∥()1111462222BOC POC POB S S S OC PN OB PM x y =+=•+•=⨯+⨯⨯- 23x y =-，而116412,22BOC S OB OC =•=⨯⨯= 2312,x y ∴-=∥,x y 满足的关系式为：2312,x y -=（3） OFC FCG OEC∠+∠∠的值不变，值为2． 理由如下：∥线段OC 是由线段AB 平移得到，∥//,OA CB ，∥∥AOB=∥OBC ，又∥∥BOG=∥AOB ，∥∥BOG=∥OBC ，根据三角形外角性质，可得∥OGC=2∥OBC ，∥OFC=∥FCG+∥OGC ，,OEC FCG OBC ∠=∠+∠∥∥OFC+∥FCG=2∥FCG+2∥OBC =2（∥FCG+∥OBC ） =2∥OEC ， ∥ 22OFC FCG OEC OEC OEC∠+∠∠==∠∠； 所以：OFC FCG OEC∠+∠∠的值不变，值为2．8．综合实践初步探究：如图，已知∥AOB=60°，在∥AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．(1)当∥DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为；解决问题：(2)当∥DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∥DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为；拓展应用：(4)当∥DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由；【解析】：（1）∥OM是∥AOB的角平分线，∥∥AOC=∥BOC=12∥AOB=30°，∥CD∥OA，∥∥ODC=90°，∥∥OCD=60°，∥∥OCE=∥DCE-∥OCD=60°，在Rt∥OCD中，OD=OC•cos30°=2OC，同理：，；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF∥OA于F，CG∥OB于G，∥∥OFC=∥OGC=90°，∥∥AOB=60°，∥∥FCG=120°，同（1）的方法得，OF=，，，∥CF∥OA，CG∥OB，且点C是∥AOB的平分线OM上一点，∥CF=CG，∥∥DCE=120°，∥FCG=120°，∥∥DCF=∥ECG，∥∥CFD∥∥CGE，∥DF=EG，∥OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG，∥OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE，；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE-OC，理由：过点C作CF∥OA于F，CG∥OB于G，∥∥OFC=∥OGC=90°，∥∥AOB=60°，∥∥FCG=120°，同（1）的方法得，OF=，，，∥CF∥OA，CG∥OB，且点C是∥AOB的平分线OM上一点，∥CF=CG，∥∥DCE=120°，∥FCG=120°，∥∥DCF=∥ECG，∥∥CFD∥∥CGE，∥DF=EG，∥OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG，∥OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD，∥OE-OC．（4）由（1）可得，CD+CE=OC，故四边形CDOE的周长为．9．ABC是等边三角形，点D在BC上，点E，F分别在射线AB，AC上，且DA DE DF==．（1）如图1，当点D是BC的中点时，则EDF∠=________︒；（2）如图2，点D在BC上运动（不与点B，C重合）．∥判断EDF∠的大小是否发生改变，并说明理由；∥点D关于射线AC的对称点为点G，连接BG，CG，CE．依题意补全图形，判断四边形BECG的形状，并证明你的结论．【解析】（1）∥点D是等边∥ABC的边BC的中点，∥∥DAB＝∥DAC＝12∥BAC＝30°，∥DA＝DE，∥∥AED＝∥BAD＝30°，∥∥ADE＝180°−∥BAD−∥AED＝120°，同理：∥ADF＝120°，∥∥EDF＝360°−∥ADE−∥ADF＝120°，故答案为：120；（2）∥不发生改变，理由如下：∥ABC 是等边三角形，∥60BAC ∠=︒．∥DA DE DF ==．∥点A ，E ，F 在以D 为圆，DA 长为半径的圆上， ∥2120EDF BAC ∠=∠=︒．∥补全图形如下：四边形BECG 为平行四边形，证明如下：由∥知，120EDF ∠=︒，∥60BDE BED ∠+∠=︒，60BDE CDF ∠+∠=︒， ∥BED CDF ∠=∠．在CDF 和BED 中，DCF EBD CDF DEA DF ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥()CDF BED AAS ≅△△．∥CD BE =．∥点D 和点G 关于射线AC 对称，∥CD CG =，2120DCG ACD EBD ∠=∠=︒=∠．∥BE CG =，且//BE CG ．∥四边形BECG 为平行四边形．10．如图，数轴上，点A 表示的数为7-，点B 表示的数为1-，点C 表示的数为9，点D 表示的数为13，在点B 和点C 处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A 和点D 在数上相距20个长度单位，动点P 从点A 出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q 从点D 出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA 和射线CD 上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B 到C 速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C 到B 速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t 秒，问：（1）动点P 从点A 运动至D 点需要时间为________秒；（2）P 、Q 两点到原点O 的距离相同时，求出动点P 在数轴上所对应的数；（3）当Q 点到达终点A 后，立即调头加速去追P ，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q 追上点P 时，直接写出它们在数轴上对应的数．【解析】（1）点A 表示的数为7-，点B 表示的数为1-，点C 表示的数为9，点D 表示的数为13， 6,10,4AB BC CD ∴===，∴动点P 从点A 运动到点D 所需时间为6104310215212++=++=（秒）， 故答案为：15；（2）由题意，分以下六种情况：∥当点P 在AB ，点Q 在CD 时，点P 表示的数为72t -+，点Q 表示的数为132t -，点P 、Q 到原点的距离相同，()721320t t ∴-++-=，此方程无解；∥当点P 在AB ，点Q 在CO 时，点P 表示的数为72t -+，点Q 表示的数为4941742t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 点P 、Q 到原点的距离相同，()721740t t ∴-++-=，解得5t =，此时点P 表示的数为3，不在AB 上，不符题设，舍去；∥当点P 在BO ，点Q 在CO 时，点P 表示的数为6142t t ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，点Q 表示的数为4941742t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 点P 、Q 到原点的距离相同，()41740t t ∴-+-=， 解得133t =， 此时点P 表示的数为13，不在BO 上，不符题设，舍去； ∥当点P 、Q 相遇时，点P 、Q 均在BC 上，点P 表示的数为6142t t ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，点Q 表示的数为4941742t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 点P 、Q 到原点的距离相同，4174t t ∴-=-， 解得215t =， 此时点P 表示的数为15，点Q 表示的数为15，均符合题设； ∥当点P 在OC ，点Q 在OB 时，点P 表示的数为6142t t ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，点Q 表示的数为4941742t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 点P 、Q 到原点的距离相同，()41740t t ∴-+-=， 解得133t =， 此时点P 表示的数为13，点Q 表示的数为13-，均符合题设； ∥当点P 在OC ，点Q 在BA 时，点P 表示的数为6142t t ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，点Q 表示的数为410128224t t ⎛⎫----=- ⎪⎝⎭， 点P 、Q 到原点的距离相同，()4820t t ∴-+-=，解得4t =，此时点Q 表示的数为0，不在BA 上，不符题设，舍去；综上，点P 表示的数为15或13； （3）点Q 到达点A 所需时间为41067.5242++=（秒），此时点P 到达的点是()7327.531 3.5-+⨯+-⨯=， 点P 到达点C 所需时间为6101321+=（秒），此时点Q 到达的点是()7232137.526-+⨯+⨯--=， ∴点Q 在CD 上追上点P ，此时点P 表示的数为()9213217t t +-=-，点Q 表示的数为()761037.525334.5t t -+++---=-，217334.5t t ∴-=-，解得17.5t =，此时点P 表示的数为18，点Q 表示的数为18．11．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，点O 为对角线BD 的中点，点P 从点A 出发，沿折线AD DO OC --以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与ABD ∆重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动的时间为t （秒）．（1）求点N 落在BD 上时t 的值．（2）直接写出点O 在正方形PQMN 内部时t 的取值范围．（3）当点P 在折线AD DO -上运动时，求S 与t 之间的函数关系式．（4）直接写出直线DN 平分BCD ∆面积时t 的值．【解析】（1）如图1所示，由题意可知，当点N 落在BD 上时，因为四边形PQMN 是正方形，所以AP PN t ==，又因为在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，所以3DP t =-，在DPN ∆和DAB ∆中，因为PDN ADB ∠=∠，90DPN DAB ∠=∠=︒，所以DPN DAB ∆∆∽，则DP PN DA AB=， 所以334t t -=，解得127t =， 所以当点N 落在BD 上时t 的值为127． 故答案为：127t =． （2）∥如图2，点O 刚落在正方形PQMN 上．因为点O 是矩形ABCD 对角线BD 的中点，所以MN 在矩形ABCD 的一条对称轴上，所以AM MB =，所以4t t =-，解得2t =．∥如图3，点O 和点P 重合，此时P 点运动的距离为AD DO +，因为3AD =，4AB =，所以5BD ===， 所以1522DO BD ==， 所以此时511322t AD DO =+=+=． 综上所述，当点O 在正方形PQMN 内部时，t 的取值位于上述两个临界位置之间，即t 的取值范围为1127t <<． 故答案为：1127t <<． （3）∥由（1）可知，当1207t <≤时，正方形PQMN 和ABD ∆的重叠部分即为正方形PQMN ，所以此时2S t =．∥当1237t <≤时，点P 在AD 上， 设PN 与BD 交于点G ，MN 与BD 交于点F ，此时正方形PQMN 和ABD ∆的重叠部分为五边形PGFMQ ， 此时PQMN GNF S S S ∆=-．同（1），可知DPG DAB ∆∆∽，FMB DAB ∆∆∽，因为AP AM t ==，3AD =，4AB =，所以3DP t =-，4BM t =-， 所以DP PG DA AB =，FM BM DA BA=， 所以334t PG -=，434FM t -=， 所以443PG t =-，334FM t =-， 所以474433GN PN PG t t t ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 373344NF MN FM t t t ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以1177432234GNF S GN NF t t ∆⎛⎫⎛⎫=⋅=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以217743234PQMN GNF S S S t t t ∆⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得2257624S t t =-+-．∥当1132t <≤时，点P 在DO 上， 设MN 与BD 交于点F ，则PFMQ PQB FMB S S S S ∆∆==-． 因为3AD =，5BD =，所以3PD t =-，所以8PB t =-， 同（1），PQB DAB ∆∆∽，所以PB QB PQ DA AB DA==， 所以8543t QB PQ -==，所以()485QB t =-，()385PQ t =-， 所以431(8)(8)(8)555MB QB QM t t t =-=---=-， 又因为FMB DAB ∆∆∽，所以FM BM DA BA =， 所以()18534t FM -=，所以()3820FM t =-， 所以11134131(8)(8)(8)(8)222552205PQB FMB S S S PQ QB FM MB t t t t ∆∆=-=⋅-⋅=⋅-⋅--⋅-⋅-， 整理得()29840S t =-． 综上所述，当1207t <≤时，2S t =；当1237t <≤时，2257624S t t =-+-；当1132t <≤时，()29840S t =-．故答案为：222120725127632479187211340552t t S t t t t t t ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<⎪ ⎪⎝⎭⎩（4）设直线DN 与BC 交于点E ，因为直线DN 平分BCD ∆的面积，∥32BE CE ==． ∥如图7，点P 在AD 上，过点E 作EH AD ⊥于点H ，则DPNDHE ∆∆∽，所以DP PN DH HE=， 因为AP PN t ==，3DP t =-，4EH BA ==，所以3324t t -=，解得2411t =． ∥如图8，点P 在DO 上，连接OE ．因为E 、O 分别是BC 、BD 的中点， 所以EO 是BCD ∆的一条中位线，所以//OE CD ，所以122OE CD ==， 又因为//PN CD ，所以//PN OE ，所以DPN DOE ∆∆∽，所以DP PN DO OE =， 因为3DP t =-，52DO =，()385PN PQ t ==- （由（3）∥知），2OE =， 所以3(8)35522t t --=，解得367t =． ∥如图9，P 在OC 上，设DE 与OC 交于点S ，连接OE ，交PQ 于R ．同∥，//OE CD ，且122OE CD ==， 所以SCD SOE ∆∆∽，所以12OS OE CS CD ==， 又因为52OC OD ==，所以15126OS OC ==+， 所以53SC =，又因为//PN OE （同∥）， 所以SPN SOE ∆∆∽，所以SP PN SO OE=， 因为112OP t AD OD t =--=-， 所以193SP OS OP t =-=-，所以193526t PN -=， 所以761255PN t =-， 又因为//PQ BC ，所以ORP OEC ∆∆∽， 所以OP PR OC CE =，所以1125322t PR -=，所以333510PQ t =-， 所以333339510255PQ PR RQ PR BE t t =+=+=-+=-， 又因为PQ PN =，所以7612395555t t -=-，解得173t =． 综上所述，当直线DN 平分BCD ∆的面积时，t 的值为2411或367或173． 故答案为：2411或367或173． 12．在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，6AC =，8AB =，点P 是射线AB 上的动点，连接CP ，将ACP ∆沿着CP 翻折得到A CP '∆，设AP x =()0x >，（1）如图1，当点A '在BC 上时，求x 的值．（2）如图2，连接AA '，BA '，当90AA B '∠=时，求PA B '∆的面积．（3）在点P 的运动过程中，当AA B '∆是等腰三角形时，求x 的值．【解析】(1)在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，6AC =，8AB =，∥由勾股定理得：BC=10，由折叠性质得：A 'P=AP=x ， C A '=AC=6，则PB=8-x ，A 'B=4，在RtΔA 'BP 中，由勾股定理得：42+x 2=(8-x)2，解得：3x =；（2）当90AA B '∠=︒时，由折叠性质得：AC=A 'C=4，∥CAB=∥C A 'P=90º，∥CAA '∠=CA A '∠，∥A AB CAA ''∠+∠=90º，A AB A BA ''∠+∠=90º，∥CAA A BA ''∠=∠，∥CA A AA P ''∠+∠=90º，AA P PA B ''∠+∠=90º，∥CA A PA B ''∠=∠，∥A BA PA B ''∠=∠，∥A P PB '==4，则4PA PA PB '===，且PAA S '∆=PA B S '∆，由6AC =，∥CAB=90º，可求得CP =，AQ A Q '∴==，PQ ∴=， 9613PAA S '∆∴=，9613PA B S '∆∴=； （3）∥当AA A B ''=时，若P 在线段AB 上，如图1，过A '作A 'H∥AB 于H ，过C 作CD∥H A '延长线于D ， 则四边形ACDH 是矩形，又AA B '∆是等腰三角形，∥4CD AH ==，6A C AC DH '===，A D '∴=，6A H '=-∥CA D PA H ''∠+∠=90º，CA D A CD ''∠+∠=90º,∥A CD PA H ''∠=∠，又PHA CDA ''∠=∠=90º,∥A PH CA D ''∆~∆， ∥CD A C A H A P'=''，6x=，解得9x =-若P 在AB 延长线上时，如图2，过A '作AB 的平行线，交AC 延长线与D ，过P 作PH 垂直平行线于H ，则四边形APHD 是矩形，同上方法，易求得A 'D=4，CD =∥PH=AD=6+同理可证得A PH CA D ''∆~∆， ∥C A D A PH A P'''=，6x=，解得9x =+，∥当8AA AB '==时，如图3，由折叠性质得： CP 垂直平分A A '，则4AQ A Q '==，∥AQP=90º，又AC=6,CQ ∴=，∥∥ AQP=∥CAB=90º，∥由同角的余角相等得：∥ACQ=∥QAP ， ∥ACQ PAQ ∆∆， ∥AC CQ AP AQ=，即6x =解得：x =；∥当AB A B '=时，如图4，则P 、B 重合，8x ∴=，综上所述9x =-9x =+或x =或8x =.。