习题6 六、压电式传感器
（一） 习 题
6-1. 以钛酸钡为例，在y 轴受到1N/m 2的切应力。

试求出在各方向产生的电荷密度。

答：
121111213141516322122
232425264331
32
33
34
35
3656T T d d d d d d T d d d d d d T d d d d d d T T σσσ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝15243132
33
000
000000000000
010d d d d d ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中12
12
121212
0000
25010000
250100078107810190100
0ij d -----⎡⎤⨯⎢⎥⎡⎤=⨯⎢
⎥⎣⎦⎢⎥-⨯-⨯⨯⎣
⎦
12122
111112213314415516615525010125010d T d T d T d T d T d T d T C m σ--∴=+++++==⨯⨯=⨯ 22112222332442552660d T d T d T d T d T d T σ=+++++=
33113223333443553660d T d T d T d T d T d T σ=+++++=
即在x ，y ，z 轴面上产生的电荷密度分别为250×10-12C/m 2，0，0。

6-2 已知电压前置放大器输入电阻及总电容分别为R i ＝1MΩ，C i ＝100pF ，求与压电加速度计相配测量1Hz 的振动时幅值误差为多大？
答：对于电压前置放大器，其实际输入电压与理想输入电压之比的相对幅频特性为
()()
2
1ωτωτ
ω+=
A i i C R =τ f πω2=
当被测信号的频率为f=1Hz 时，有
()()
()
42
12
61262
103.6101001011211010010112212---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=
+=
ππππωi i i i C fR C fR A
所以幅值误差为%94.999994.01103.64
-=-=-⨯=-δ
由此可见测量误差太大了，原因在于输入阻抗太小。

6-3.将压电式传感器与一只灵敏度为S v 且可调的电荷放大器连接，然后接到灵敏度为S x =20mm/V 的光线示波器上记录，现知压电式压力传感器灵敏度为S p =5pc/Pa ，该测试系统的总灵敏度为S=0.5mm/Pa ，试问：
(1)电荷放大器的灵敏度为S v 应调为何值（V/pc ）?
(2)用该测试系统测40Pa 的压力变化时，光线示波器上光点的移动距离是多少？ 答：（1）X V P S S S S =
pc mV V
mm Pa pc Pa
mm S S S S X P V /5/20/5/5.0=⨯==
（2）mm Pa Pa mm Pa S x 2040/5.040=⨯=⨯=
6-4一只压电晶体的电容为Ca ＝1000pF ，电荷灵敏度为Sq ＝2.5pc/N ，电缆电容为Cc ＝3000pF ，示波器的输入阻抗为1MΩ，输入电容为50pF 。

(1)求压电晶体的电压灵敏度。

(2)分析测量系统的频率响应特性。

(3)如果系统允许的测量幅值误差为5％，可以测量的最低频率为多大？
(4)如果频率为10Hz ，允许误差为5％，用并联连接方式，并联电容的值为多大？ 答：（1）压电晶体电压灵敏度
N V C S S a q
u /105.210
1000105.2312
12---⨯=⨯⨯== 当压电晶体通过电缆与示波器连接组成测量系统时，测量系统灵敏度为
()N V C C C S S i c a q
u /1017.610
5030001000105.2412
12
---⨯=⨯++⨯=++=' （2）实际输入电压与理想输入电压之比的相对幅频特性为
()()
()
2
00
2
/1/1ωωωωωτωτ
ω+=
+=
A
τω/10=为下限截止频率
当1/0<<ωω，()1/0<<≈ωωωA ，输出几乎为0，即不响应输入信号。

当1/0=ωω，()2
1
≈
ωA ，示波器实际输入功率为理想输入功率的1/2。

当1/0>>ωω，()1≈ωA ，示波器实际输入电压约等于理想输入电压，即几乎不产生测量误差。

所以测量系统的高频响应很好，低频响应很差。

其频率响应特性主要由0ω决定。

()()s rad C C C R i c a /24710
50300010001011
1/112
60=⨯++⨯⨯=++=
=-τω （3）如果系统允许的测量幅值误差为5%，假设可以测量的最低角频率为L ω，则由
()()
95.0/1/2
00
=+=
ωωωωωL L L A
s rad L /75124704.304.30=⨯==ωω
所以可以测量的最低频率Hz f L L 12027512===
π
πω （4）当允许误差为5%时，004.3ωω'='L
s rad L /7.2004
.310
204
.30
=⨯=
'='πωω
又()
p i c a C C C C R +++='1
ω
所以
()()F C C C R C i c a p 8
126
01043.410503000100010
17.2011--⨯=⨯++-⨯⨯=++-'=
ω 6-5.一只压电式加速度计，供它专用的电缆的长度为1.2m ，电缆电容为100pF ，压电片本身
的电容为1000pF 。

出厂时标定的电压灵敏度为100V/g(g=9.8m/s 2为重力加速度)，若使用中改用另一根长2.9m 的电缆，其电容量为300pF ，问电压灵敏度如何改变？ 答：
+ U o
-
将压电式加速度计用电压源来等效，如图所示，输出电压为a c
a a
o U C C C U +=
当电缆电容为c
C '时，输出电压变为 a c
a a
o
U C C C U '+=' 更换电缆后灵敏度变为
g V S C C C C S U U S c a C a o o /6.84100300
10001001000=⨯++='++='=
'
6-6.用石英晶体加速度计测量机器的振动，已知加速度计的灵敏度为2.5pC/g （g ＝9.8m/s 2），
电荷放大器的灵敏度为80mV/pC ，当机器达到最大加速度时，相应的输出电压的幅值为4V 。

试计算该机器的振动加速度为多大？
答：系统灵敏度等于传感器灵敏度与电荷放大器灵敏度之积。

即g mV S n /200805.2=⨯=
系统灵敏度S n 、输出电压幅值U o 、被测加速度幅值a 的关系为
a
U S o n =
振动加速度幅值为23/1962010
2004
s m g S U a n o ==⨯==
- 6-7.有一块压电晶体，其面积S=20mm 2，厚度δ＝10mm ，当受到p ＝10MPa 的压力作用时，求它所产生的电荷量Q 及输出电压。

（1）压电晶体为0度x 切型的纵向石英晶体。

（2）压电晶体为利用纵向效应的BaTiO 3。

答：（1）C pS d F d Q 106612
11111062.41020101010
31.2---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===
5.4=r ε
F S C r a 143
61201097.7101010205.41085.8----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==δεε V C Q U a o 314
10
1080.510
97.71062.4⨯=⨯⨯==-- （2）C pS d F d Q 8
66123333108.31020101010190---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==='
BaTiO 3的相对介电常数1200=r ε
F S C r a 113
61201012.21010102012001085.8----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=='δεε V C Q U a
o 3
11
81079.11012.2108.3⨯=⨯⨯=''='--。