《线性代数》期末复习要点
第一章行列式
1、行列式的计算（略）
2、Cramer法则：系数行列式D≠0,则方程租有唯一解。

齐次方程租有非零解，则D＝0。

3、V andermonde行列式。

（略）
第二章矩阵
1、矩阵的计算（略）
2、对称矩阵：A∧T=A。

反称矩阵A∧T=-A。

3、矩阵可逆，则｜A｜≠0。

4、分块矩阵（略）
5、初等变换与初等矩阵（略）
6、m×n阶矩阵A，B等价，则当且仅当存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使PAQ＝B。

7、（1）可逆矩阵一定满秩，即r=n。

（2）若A的一个r阶子式不等于零，则r（A）≥r，若A的r+1阶子式都为零，则r（A）≤r。

8、矩阵秩的不等式：（1）r（AB）≤min｛r（A），r（B）｝。

（2）A，B分别为m×n阶和n×k 阶矩阵，r（AB）≥r（A）+r（B）-n。

特别的，当AB=0时，r（A）+r（B）≤n。

（3）A，B 均为m×n阶矩阵，则r（A+B）≤r（A）+r（B）。

第三章n维向量空间
1、线性相关：（1）k1，k2，kn不全为0且能使kiα1+k2α2+……+knαn＝0成立，则α1，α2，……，αn线性相关。

（2）至少一个向量是其余向量的线性组合。

（3）含零向量的向量组是线性相关的。

（4）n维向量中的两个向量组T1＝｛α1,α2,α3,……,αr｝，T2=｛β1,β2,β3,……βs｝，若T1可由T2线性表示，且r＞s，则T1线性相关。

若T1可由T2线性表示但T1线性无关，则r≤s。

（5）n+1个n维向量一定线性相关。

2、（1）零向量自身线性相关。

非零向量自身线性无关。

（2）向量组中一部分线性相关，则整体线性相关，若向量组整体线性无关，则向量组的一部分线性无关。

3、向量组的任意极大线性无关组都与之等价，向量组的任意两个极大线性无关组都等价。

4、矩阵的秩等于其行（列）向量组的秩。

5、向量空间的基与维数，空间向量的坐标（略）
6、基变换和坐标变换：｛α1,α2,α3,……,αr｝，｛β1,β2,β3,……βs r｝是向量空间V的两组基，若有r维方阵C，使［β1,β2,β3,……βs］=［α1,α2,α3,……,αr］C，则称C为从基｛α1,α2,α3,……,αr｝到基｛β1,β2,β3,……βs｝的过渡矩阵（基变换矩阵）。

则坐标变换X=CY。

7、内积：（1）交换性（α，β）=（β，α）。

（2）线性性：（α1+α2，β）=（α1，β）+（α2，β）。

（kα，β）＝k（α，β）。

（3）非负性。

（4）Cauchy-Schwarz不等式P99。

向量的长度，向量间夹角的余弦P99。

8、标准正交向量组，Gram-Schmidt正交化方法。

P103，104。

▲重点记忆。

第四章线性方程组
1、线性方程组及其表示（略）
2、m×n型线性方程AX＝b。

（1）有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相同。

（2）有唯一解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相同，都为n。

3、Gauss消元法。

（略）
4、齐次线性方程和非齐次方程组解的结构。

基础解系与通解。

（略）
5、AX＝b解空间的维数dimN（A）＝n-r（A）。

m×n型线性方程AX＝0有非零解的充要条件是r（A）＜n。

6、非齐次线性方程的解集合不再是向量空间。

第五章相似矩阵
1、特征值与特征向量。

AX=λA。

一个特征值可对应多个特征向量，但一个特征向量只对应一个特征值。

n阶方阵在复数域内有n个特征值。

2、n阶方阵λ1λ2λ3λ4……λn＝｜A｜，A的迹tr（A）＝λ1+λ2+λ3+λ4+……+λn＝a11+a22+a33+a44+……+ann。

3、n阶方阵可逆的充要条件是A的n个特征值都非零。

4、特征向量的性质：（1）特征向量都线性无关。

（2）设λ是n阶方阵A的一个t重特征值，则λ对应的特征向量线性无关的最大个数≤t。

5、矩阵相似：P∧（-1）AP=B。

性质：（1）r（A）＝r（B）。

（2）｜A｜＝｜B｜。

（3）A和B的特征多项式相同，即｜λI-A｜=｜λI-B｜，即A和B的特征值相同。

（特征值相同不可推出A和B相似）6、矩阵相似对角形。

（略）
n阶方阵A有n个互异的特征值，则A相似于对角矩阵。

n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A每一个t重特征值都对应于t个线性无关的特征向量。

7、Jordan标准形（略）
第六章二次型
1、二次型（略）
2、对称矩阵：A∧T=A。

二次型对应的矩阵的秩就是该二次型的秩。

3、二次型的线性变换。

可逆（非退化）。

（略）
4、二次型的标准形（法式），规范形。

（略）
数域F上任意一个二次型都可以经过非退化性变换化为标准形，在复数域上都可以化为规范形，且规范形是唯一的。

5、矩阵的合同：P∧TAP=B，则A与B合同。

性质：（1）自反性。

（2）对称性。

（3）传递性。

6、正交矩阵：C∧TC=I。

性质：（1）正交矩阵的行列式为1或-1。

（2）正交矩阵的逆矩阵等于其转置。

（3）A，B正交，则AB正交。

（4）C是正交矩阵的充要条件是C的行（列）向量组是标准正交向量组。

7、正交变换向量的内积不变。

8、实对称矩阵的特征值都是实数。

其不同特征值对应的特征向量必正交。

9、主轴定理（化二次型为标准形）。

（略）
10、惯性定理：实二次型经过非退化性变换化为标准形时，标准形中正、负项的项数是确定的，它们的和是矩阵的秩。

11、标准形中正平方项的项数p称二次型的正惯性指数，负平方项的项数q称二次型的负惯性指数，他们的差p-q=p-（r-p）＝2p-r称为二次型的符号差。

12、n元二次型f＝X∧TAX＞0，则称二次型f为正定二次型，称二次型矩阵A为正定矩阵。

n元二次型正定的充要条件是它的正惯性指数为n，或A的全部特征值为正数。

13、实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆矩阵P使P∧TAP＝I。

推出正定矩阵的行列式大于零。

14、Sylvester定理：实二次型正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零。