＝， ＝， ＝， 求： （1）齐次线性方程组的通解；
（2）非齐次线性方程组的通解. 12、求一个正交变换，把下面的二次型化为标准形 四、证明题 1．设，，证明：是对称矩阵。 2. 证明：若向量是方阵的同时属于特征值的特征向量，则有 3．设是阶方阵的不同特征值，分别是的对应于的特征向量，证明：不是
的特征向量. 4．证明：若矩阵相似于，则
（A） （ B）
（C）
（D）
6、设阶行列式=，是中元素的代数余子式，则下列各式中
正确的是
(A)
(B)
(C) (D)
7、设均为阶可逆矩阵，则下列各式成立的是
（A）
(B)
(C)
(D)
8、设为3阶方阵，且行列式，则
(A)-8
(B)-2
(C) 2
(D)8
9、设为阶方阵且满足，则
(A) 或
(B)
(C) 或
(D)
7.设矩阵，则
8.设，则
9.若A是可逆矩阵，则=__________
10.设矩阵，则
11．设
，
是两个可逆矩阵，则分块矩阵
12．设矩阵的秩，则
13．若向量组线性无关，且，则数
14.向量组，，，中不能由其余向量线性表示的是
15.向量组的秩为____________
16．在线性方程组中，若未知量的个数n=5，，则方程组的一般解中自由
因为 ＝， ＝， ＝，为非齐次方程组的解， 所以为齐次方程组的解 又因为线性无关 所以的通解为： （2）由（1）及非齐次方程组解的结构，不难得知：非齐次方程组的通解 为： （注：此题答案不唯一） 12、 解：已知二次型的矩阵为： 的特征多项式为： 令得特征值： 当时 ，解方程组,得基础解系，单位化得 当时， 解方程组, 得基础解系 当时， 解方程组,得基础解系，单位化得 令矩阵 则为正交矩阵，于是所求正交变换为：，就是此变换把二次型化为标准 形 四、证明题 1. 证明：因为， 所以，从而存在
求矩阵 5、求的秩。 6、求方阵的特征值与特征向量。 7、求向量组，，，，的一个极大无关组。 8、已知向量组， ，，，，求该向量组的秩，并求其一个极大无关组。 9、判断线性方程组，当k为何值是有解？ 10、设线性方程组的一般解为，为自由变量，
求的通解。 11、设为3×4矩阵，，若非齐次线性方程组 的三个解分别为：
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)
25、二元二次型 的矩阵是
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
1. 五阶行列式的展开式共有
项.
2.行列式中元素的余子式=__________
3.四阶行列式 的值是
4.矩阵中的元素=__________
5.若A，B为n阶矩阵，则=__________
6.设为3阶方阵，且，则
★★线性代数练习题
一、单项选择题
1、行列式中，元素的代数余子式是
（A） （B ） （C ） （D）
2、二阶行列式的值为
(A) (B) (C) (D)
3、设行列式，则k的取值为（ ）
（A）2 （B）-2或3
（C）0
（D）-3或2
4、若行列式=1，则=
（A）1
（B）2
（C）0 （D）
5、设a，b，c，d为常数，则下列等式成立的是
未知量的个数为_________
17．设4元线性方程组的系数矩阵的秩为3，且为其两个解，则 的通解为
18．设向量组线性无关，则向量组
（填线性相关，线性无关）。
19．设元线性方程组有解，则当 时，有无穷多解。
20．若3阶方阵的特征值分别为1，-1，2，则的特征值为
21．已知阶矩阵的特征值都不为零，则的特征值为
(D) 中任何一个都不能由其它向量线性表出
17、向量组，，，的秩为
.
（A）
（B） （C） （D）
18、设均为阶可逆矩阵，则分块矩阵的逆矩阵是
.
（A）
（B）
（C）
（D）
19、设，，且，则
(A) (B)
(C) (D)
20、设A可逆，则的解是
(A)
(B)
(C) (D)
21、下列说法正确的是( )。
(A) 任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵。
10、 11、 12、
13、 14、 15、3 16、2
17、 （注：此题答案不唯一） 18、线性无关
21、 22、2
23、5
24、 25、 26、 27、
19、小于n 20、
三、计算题 1、解： 2、解：= 3、解：
存在，用右乘方程两边，得 又
所以， 4、解：= 及
存在，且 将已知等式整理得： 所以 施行初等行变换得，
(B) 设方阵A是非奇异性的，A经过初等行变换得到阶梯阵B，则方阵B
为奇异的。
(C) 初等矩阵都是可逆的。
(D) 矩阵经过初等行变换后，其秩会发生改变。
22、设A，B都是可逆矩阵，则AB的逆是
（A） （B） （C） （D）
23、设，则
(A) 3 (B) 2
(C) 1
(D) 0
24、设是阶方阵,若,则的基础解系所含向量的个数为
由最后一个矩阵可知 从而所求向量组的秩为3 ，
又因为非零行非零首元所在的列依次为1，2，5列 所以为其中一个极大无关组（或也对） 9、解：已知方程组的增广矩阵为：
对施行初等行变换得： 所以当，即时，方程组有解。 10、解： 已知方程组对应的齐次线性方程组的一般解为 （为自由变量）
令得：；令得：； 则为齐次方程组的基础解系； 再令，得非齐次方程组的特解： 所以的通解为： 。 11、 解：（1）由已知条件可知，齐次方程组含基础解系个数为 2个向 量，
15、下列说法不正确的是
(A）相似矩阵有相同的特征值。
(B）阶矩阵可对角化的充要条件是它有个不同的特征值。
(C）元齐次线性方程组有非零解的充要条件是。
（D）正交的向量组一定是线性无关的。
16、维向量组线性无关的充要条件是
(A) 存在一组不全为零的数使
(B) 中任意两个向量线性无关
(C) 中存在一个向量可由其它向量线性表出
6、解：矩阵的特征多项式为：
令，解得的特征值为：
当时，求解齐次线性方程组的基础解系，由
得对应的方程组为,从而解得基础解系
于是属于特征值的全部特征向量为，其中k为任意非零常数。
当时，求解齐次线性方程组的基础解系， 由
得对应的方程组为 , 从而解得基础解系 于是属于特征值的全部特征向量为 ， 其中数是不同时为零的任意常 数。 7、解：以已知向量组为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换得， 所以，所求向量组的极大无关组为：。 8、解：记矩阵，对其进行初等变换得
线性代数模拟试题答案
一、单项选择题 1、A 2、B 3、B 4、D 514、C 15、B 16、D 17、C 18、C 19、C 20、D 21、C 22、D 23、B 24、C 25、B 二、填空题
1、 5! 2、 3、24 4、1 5、 6、8 7、 8、 9、
22．设向量组，，，线性相关，则
23.若向量与向量正交，则
24．已知三阶矩阵 的特征值为，其对应的特征向量分别是
，则
25.若方阵与相似，则的特征值为___________
26．若矩阵与相似,则
27．若二次型是正定的,则应满足的条件是
三、计算题 1、计算行列式 2、设，，求。 3、已知且，求矩阵X。 4、设，其中
又因为，所以 用左乘等式两边得， 故是对称矩阵。 2. 证明： 若 则由 可知：
又因为 所以，这与为特征向量矛盾 所以
3．证明：假若是矩阵的属于特征值特征向量，即
因为分别是的对应于的特征向量， 所以线性无关，并且
， 所以 ，即 于是 ，这与不同矛盾。 4．证明：因为矩阵相似于， 所以 从而
10、设为阶可逆方阵，则下列各式必成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
11、设矩阵，，则
(A)
(B)
(C)（1,0,6）
(D) 7
13、下列命题正确的是
.
（A）若矩阵满足，则有或
（B）若矩阵满足，则矩阵都可逆。
（C）若是阶矩阵的伴随矩阵，则
（D）若，则
14、设为三阶矩阵, ,, 则=
(A) 4 (B) 1 (C) 16 (D)