本科线性代数总复习第一章行列式一、单项选择题1．二阶行列式k?122k?1≠0的充分必要条件是A．k≠-1B．k≠3C．k≠-1且k≠3 D．k≠-1或≠3 答案：C a1b1ac2．设行列式11aba2b2=1，a2c2=2，则11?c1a2b2?c2=A．-3B．-1C．1 D．3 答案：D ?3.如果方程组?3x1?kx2?x3?0?4x?2?x3?0有非零解,则k= ?4x2?kx3?0A.-2 B.-1答案： B a11a12a13a115a11?2a12a134．设行列式D=a21a22a23=3，D1=a215a21?2a22a23，则D1的值为?110A．-2B．-1 C． 1 D． 2 答案： C a11a12a132a112a122a136.已知a21a22a23=3，那么a21a22a23= a31a32a33?2a31?2a32?2a33A.-24B.-12C.-6 答案：B 二、填空题 1 ）a112a124a226a323a136a239a33a11a12a1 3a23a337．已知3阶行列式2a213a31=6，则aa2221a31a32=_______________.答案：1/6 8．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=__________________.答案：-4 9．已知行列式a1?b1a1?b1a2?b2a，则a1b1?______.答案：2 2?b??42a2b2三、计算题111410．求4阶行列式11311211的值. 111100030003解：原式=11310020 1211?1211111111110003?00200020100?? 3010??601111111111?6 120011.计算四阶行列式01200012的值. 2001120200解：原式=012?2120??15 0010121234512.设77733,求AA?3245231?A32?A33，A34?A35．3332246523答案：0,0. 第一章矩阵一、单项选择题1．设A为三阶矩阵，|A|=a≠0，则其伴随矩阵A*的行列式|A*|= 2 答案：B 2．设A、B为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是A．|AB|=|BA| C．-1=A-1B-1 B．|A+B|=|A|+|B| D．2=A2+2AB+B2 答案：A 3．设A可逆，则下列说法错误的是．．A．存在B使AB=E C．A 相似于对角阵答案：C 4．设A为3阶方阵，且|A|＝2，则|2A-1|= A．-4 B．-1C．1 答案：D D．4 B．|A|≠0 D．A的n个列向量线性无关?12??123???5．设矩阵A＝，B ＝??，C＝??456??，则下列矩阵运算中有意义34????的是A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 答案：B 6．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是A．A＋AT B．A－AT C．AAT D．ATA 答案：B ?ab???7．设2阶矩阵A ＝?cd?，则A????d?d?b??A．???ca?? B．?b???答案：A ＊＝c???db??C．??c?a?? ?a?????d?c???D．??b a????33???8．矩阵??10?的逆矩阵是???0?1?0?3???0?1??1?????? C．?1? A．??B．?1333?????3?答案：C 9．设A为n阶方阵，λ为实数，则|λA|= 1??1??3D．???10?? ??3 A．λ|A|B．|λ||A|C．λn|A| D．|λ|n|A| 答案：C 10．设A为n 阶方阵，令方阵B=A+AT，则必有A．BT=B B．B=2A C．BT=-B D．B=0 答案：A 11.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是=B B.?A?B??1?A?1?B?1 C. A?B?A?B D.?A?B?T?AT?BT 答案：D 12.设A为四阶矩阵，且A?2,则A*? 答案：C 13.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误．．的是 A.|AB|=|A| |B| B. (AB)-1=B-1A-1 C. (A+B)-1=A-1+B-1 D. (AB)T=BTAT答案：C 14.设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|-1|= A.14答案：A 15．设A为3阶方阵，且?113A?3，则|A|?A．-9B．-3C．-1 D．9 答案：B 16．设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有A．A=B B．A= -B C．|A|=|B| D．|A|2=|B|2 答案：D 17．设A为5×4矩阵，若秩=4，则秩为A．2B．3C．4 D．5 答案：C 18.设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是=AT+BTB.|AB|=|A||B| =BA+CA =BTAT 答案：C19.若矩阵A可逆，则下列等式成立的是=1AA*?0 C.(A2)?1?(A?1)2 D.(3A)?1?3A?1 答案：C 20．设A为2阶矩阵，若3A=3，则2A? 4 A．14B．1 C．23D．2 答案：C 21.设A 为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为A.-8 B.-2答案：A 二、填空题22．设A，B均为三阶可逆阵，|A|=2，则|2B-1A2B|=_________.答案：32 ?100???23．设三阶方阵A等价于?010?，??000??则R=_________.答案：2 ?0?24．设3阶矩阵A=?0?2??0??答案：?01??2?5201203??5?，则-1=_____________. 0??3???1? ?0???100??600?????220? ?，则A*A=_____________.答案：?060? 25．设3阶矩阵A=?333??006??????200?????2-1 01026.设A=??,则A=___________.答案：?0?022??0???101?1???0??0? 1?2???6?120??，则A*=___________答案：?027.设A=?030????0??002???20??20? 03???21?28．设A=，B=??40?，则AB=_________.答案：??35???29．设A为3阶方阵，若|AT|=2，则|-3A|=_________.答案：-54 ?12???30.设A为2阶矩阵，将A的第2列的倍加到第1列得到矩阵B.若B=??，则?34??? 5A=______________.答案：???52?? ??114?1,则|A-1|=___________________________.答案：?n 31.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=?n32.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A-1 |=______________. 三、计算题??100?33．设A=??1?10? ??11?1???求-1 -1 ??300?解：-1=A-2E=??1?30? ??11?3????100?? 1?100?-1???110?????110? ???111?????0?1 1????100???300???3-1???110??1?30????? 0?11????11?3?????4???0?34．设A=?101??210???,求A-1 ??32?5??解??101100??1100??210010????01? 01?2?210?????1?0???32?5001????02?330 1????0?100?62?1????01012?32?? ??0017? 21????62?所以A?1??1??12?32?? ??7?21?? 00??30?4?3? ??0111?2?2017：00?10?? ?21??6 ?101??301???? ?35.已知矩阵A=?1?10?，B=?110?，?012??014?????求A的逆矩阵A-1；解矩阵方程AX=B. 解：1100?1100??101100??10?10??????1?1001 0?0?1?1?110?0?1?1?110???????012001?? 01?002001?1?111????????1002?1?1??100 2?1?1???????0?10?221???0102?2?1? ?001 ?11?001?111?1??????2?1?1????1所以A??2?2?1? ??111????2?1?1??301??5 ?2?2????????1?3?2?X?AB??2?2?1??110???4?????113?1????? 014???22??1136．设A=?0?1??00?解?0??12??1，B=?01?，又AX=B，求矩阵X. ?10?1????2?：??11?0?1??00 ?0112?12?01??10???11012?????0?1101?? 00120????11012?????0?10?21??00120??? ?100?13???13???????0102?1?所以X??2?1? ?0012?20?0?????第二章一、单项选择题1．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α秩是A．0B．1 C．2 3的D．3 7 答案：C 2．若向量组α1=，α2=，α3=线性相关，则实数t= A．0B．1C．2 D．3 答案：B 3．设A是4×5矩阵，秩=3，则A．A中的4阶子式都不为0 B．A中存在不为0的4阶子式C．A中的3阶子式都不为0 D．A 中存在不为0的3阶子式答案：D 4．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量B．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合答案：C 5.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s?2)的充分必要条件是A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量B. α1 ，α2，…，αs 全是零向量C. α1 ，α2，…，αs中至少有一个向量可其它向量线性表出 D. α1 ，α2，…，αs 中至少有一个零向量答案：C 6．向量组α1，α2，…αs，(s＞2)线性无关的充分必要条件是A．α1，α2，…，αs 均不为零向量B．α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例C．α1，α2，…，αs中任意s-1个向量线性无关D．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能其余s-1个向量线性表示答案：D 7.已知向量组A：?1,?2,?3,?4中?2,?3,?4线性相关，那么 A. ?1,?2,?3,?4线性无关C. ?1可?2,?3,?4线性表示答案：B8.向量组?1,?2,??s的秩为r，且rB. ?1,?2,??s中任意r个向量线性无关B. ?1,?2,?3,?4线性相关D. ?3,?4线性无关C. ?1,?2,??s中任意r+1个向量线性相关D. ?1,?2,??s中任意r-1个向量线性无关答案;C 9．设向量α1?(a1,b1,c1),α2?(a2,b2,c2),β1?(a1,b1,c1, d1),β2?(a2,b2,c2,d2)，下列命题中正确的是8 A．若α1,α2线性相关，则必有β1，β2线性相关B．若α1,α2线性无关，则必有β1，β2线性无关C．若β1，β2线性相关，则必有α1,α2线性无关D．若β1，β2线性无关，则必有α1,α2线性相关答案：B 10．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组是A的列向量构成的向量组，向量组是的列向量构成的向量组，则必有A．若线性无关，则线性无关B．若线性无关，则线性相关C．若线性无关，则线性无关D．若线性无关，则线性相关D答案：C 11．向量组?1,?2,?,?s(s?2)的秩不为零的充分必要条件是A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组C．?1,?2,?,?s全是非零向量B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量D．?1,?2,?,?s全是零向量答案：B 12.设有向量组A：?1，?2，?3，?4，其中?1，?2，?3线性无关，则 A.?1，?3线性无关 B.?1，?2，?3，?4线性无关C.?1，?2，?3，?4线性相关D.?2，?3，?4线性相关答案：A 13．设向量组?1,?2,?3,?4线性相关，则向量组中A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合答案：A 14.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则 A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关答案：C 15.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则 A.α1必能α2,α3，β线性表出C.α3必能α1,α2，β线性表出答案：D 二、填空题 B.α2必能α1,α3，β线性表出 D.β必能α1,α2,α3线性表出16.向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是___________.答案：2 17．设α1=[1，2，x],α2=[-2，-4，1]线性相关，则x=_________.答案：? 1 29 18．已知向量α=，β=，如果α+ξ=β，则ξ=_________. 答案：19．已知向量组?1?(1,2,3)T,?2?(2,2,2)T,?3?(3,2,a)T线性相关，则数a?______.答案：1 123?203?a222??102?a??2?23?a?2(1?a)?32 a32a?12?a0,a?1 三、计算题20．设向量组α1=T，α2=T，α3=T，α4=T. 求向量组的一个极大线性无关组；将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合. 解??1230???123?1,?2,?3,?4)?A???1? 203?????003?2460???1?2?1?4???000?0?4 ?4??1230??00?3??0100??1?0100???0011? ???011?? ?0000???0?0000??秩为 3 a1,a2,a3是向量组a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组且a4??3a1?a3. 21．设向量组?1?(1,4,1,0)T,?2?(2,1,?1,?3)T,?3?(1,0,?3 ,?1)T,?4?(0,2,?6,3)T，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解??1210???1210???4102????0? 7?42??121?1?1?3?6?????0?400?3?4?6??? ???0?3?13????0?3???0?3?4?13????0?3?1 ：0?3?0????4??：0?8???6??3???10 （10?0??12?121?12?????0?2??01?010?2??01???00?3?9??00?3?9??00??????0?3?13?? 00?1?3??00??????1??0?0??0?1??10?2?秩为 3 013??000??0010??0?2???13?00???1??0?0 ??0?4??10?2???013?000??01a1,a2,a3是向量组a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组且a4??1?2a2.?3?3 四、证明题22．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α1-α2，α3也无关. 证明：设k1(?1??2)?k2(?1??2)?k3?3?0，即(k1?k2)?1?(k1?k2)?2?k3?3?0，于α1，α2，α3线性无关，故有?k1?k2?0??k1?k2?0解之得，k1?k2?k3?0?k?0?3故α1+α2，α1-α2，α3也线性无关．23．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1，β2，β3线性无关. 证明：设k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0，即(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0，于α1，α2，α3线性无关，故有?k1?k3?0??k1?k2?0解之得，k1?k2?k3?0?k?k?03?2故β1，β2，β3也线性无关．24.证明：若向量组?1,?2,??n线性无关,而?1??1??n,?2??1??2,?3??2??3,?, ?n ??n?1+?n，则向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是n为奇数。