ω --M(x)图形的面积，
x C -- M(x)图的形心到y 轴的距离。
∴
∫l M ( x ) M ( x )d x = ω ⋅ x C tan α
C
= ωM
C
M
为 M ( x )图中与M(x) 图的形心C对应的纵坐标。
由此，得
M ( x ) M ( x )dx ω M C = y=∫ l EI EI
利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称为能量方法。
§13. 2 杆件弹性应变能的计算 一、杆件应变(变形)能的计算： 1.轴向拉压杆的应变能计算： (1) 轴力为常力时：
FN l 1 F l Vε = W = F Δ l = = 或 Vε = 2 2 EA 2 EA
2 2
∑
F=60N B
解：①画单位载荷图
F0 =1 B
A
00 3
C
500
A
00 3
C
500
x x1
10
x
10
20
5
②求内力
M AB ( x ) = Fx
M AB ( x) = x
TCA ( x1 ) = 0.3F T CA ( x1 ) = 0.3
20
5
M AB ( x ) = Fx M AB ( x) = x TCA ( x1 ) = 0.3F T CA ( x1 ) = 0.3
二、普遍形式的莫尔定理
莫尔定理(单位载荷法)
FN ( x) FN ( x) M ( x) M ( x) T ( x)T ( x) yA = ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx l l l EA GI p EI
三、使用莫尔定理的注意事项： ① M(x)：结构在原载荷下的内力。 ② M (x ) ——去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。 ③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。 ④ M (x ) 与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。 ⑤莫尔积分必须遍及整个结构。
④求转角，重建坐标系（如图） q A B C
a
x1 A C
a
x2 MC0=1 B
qx12 AC : M ( x ) = qax 1 − 2 x M ( x) = − 1 2a 2 qx2 BC: M ( x)=qax2 − 2 x2 M ( x) = 2a
M ( x) M ( x) dx θc = ∫ EI 0 ( AB ) M ( x) M ( x) + ∫ dx EI 0( B )
∫
T ( x) 2 GI p
2
l
dx
或 Vε =
∑
i =1
n
1 应变能密度(比能)： v ε = τγ 2
3.弯曲杆的应变能计算：
Ti 2 l i 2 G i I pi
Vε =
∫
பைடு நூலகம்
M 2 ( x) 2 EI
l
dx
或 Vε =
1 v ε = σε 2
∑
i =1
n
M i2 l i 2 Ei Ii
应变能密度(比能)：
q C l
1
θA =
∫
l
M ( x ) M ( x )dx EI
1
1 = (ω 1 M EI
+ ω2M
2
+ ω3M 3)
θ
A
1 1 1 2 2 ql 2 1 = ×l× ) ( − × Fa × a × 1 − × Fa × l × + × EI 2 2 3 3 8 2
Fa 2 1 l ql 3 ( + )+ = − EI 2 3a 24 EI
③变形
yB = ∫
=
l
M ( x) M ( x) T ( x1 )T ( x1 ) dx1 + ∫ dx l GI p EI
0 .3 F × 0 .3 dx1 + GI p
0 .3
0. 5
∫
0
∫
0
3 Fl AB l AC Fl AB Fx 2 + l AB dx = EI 3EI GI p
60 × 0.33 × 12 60 × 0.3 × 0.5 × 32 3 = × 10 + 0.3 × × 103 3 × 210 × 5 × 103 0.4 × 210 × 204 π
2
2
T 2 ( x)
2
αS →
T 2 ( x)
剪切挠度因子
细长杆，剪力引起的应变能可忽略不计。
FN ( x) M 2 ( x) Vε = ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx l 2 EA l 2GI l 2 EI p
例1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力F的 作 用，求A点的垂直位移。 解：用能量法（外力功等于应变能） ①求内力 F F R A M
a
a
a
a
a
2 1 qx12 x1 1 qx2 x2 =− ∫ ( qax1 − 2 ) 2a dx1 + EI ∫ ( qax2 − 2 ) 2a dx2 EI 0 0 a
=0
例4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能 上下移动，已知：E=210GPa，G=0.4E，求B点的垂直位移。
C
（c） 思考：如果求A截面的转角，如何计算？
§13. 4 图形相乘法 如图为直杆AB的M(x)图和 M ( x ) 图，其中 M ( x )为一斜直线， 斜度角为 α
M ( x ) = x tan α
∫l M ( x ) M ( x ) d x = tan α ∫l xM ( x ) d x ∫l xM ( x ) d x = ω ⋅ x C
Vε =
图a
∫
l
M 2 ( x) dx 2 EI
2
M ( x) V ε0 = ∫ dx l 2 EI [ M ( x ) + M ( x )] 2 V ε1 = ∫ dx l 2 EI
Vε1 = Vε0 + Vε + 1× y A
yA =
∫l
M ( x)M ( x) dx EI
M ( x) M ( x) dx yA = ∫ l EI
3 F 2 R 3π F 2 R 3π = + 4 GI p 4 EI
③外力功等于应变能
F QW = y A = Vε 2
3 FR 3π FR 3π ∴ yA = + 2 GI p 2 EI
例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 F A a f C a B 解：外力功等于应变能
1 W = Fy C 2 M 2 ( x) Vε = ∫ dx l 2 EI
l
F
M (x)和 M (x)
AB段： M ( x1 ) = − Fx1 , M ( x1 ) = − x1 BC段： M ( x2 ) = − Fa, M ( x2 ) = −a
应用莫尔定理：
yA = ∫
a M ( x1 )M ( x1 )dx1
0
EI1
M ( x2 )M ( x2 )dx2 +∫ 0 EI 2
A
在截面B 作用一个单位力偶 矩，如图（c）所示。计算刚架 在各段内的弯矩： AB段： M ( x1 ) = − Fx1 , M ( x1 ) = 0 BC段： M ( x2 ) = − Fa, M ( x2 ) = 1 应用莫尔定理：
l
F
（a） x1 A
Fal 1 l θB = ∫0 (−Fa)(1)dx2 = − EI EI2 2
F B A a l
q C 1
例7 求如图所示均布载荷作用下简支梁跨度中点的挠度。 q 解：简支梁在均布载荷的作用下 的弯矩图为二次抛物线,在中点C A 作用单位力的 M ( x ) 为一条折线 C （如图），所以可以以转折点为 l/2 l/2 界，分成两部分应用图乘法，然 后求总和。（C1段面积为底乘以 高的2/3倍，形心距左端点5l/8）
二、应变能的普遍表达式： 克拉贝依隆原理(Principle of Clapeyron ):线弹性体的应变能等于 每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。
FN ( x) M 2 ( x) dx dx + ∫ Vε = ∫ dx + ∫ l 2 EA l 2GI l 2 EI p Fs ( x) + ∫αS dx l 2 EA
B
2 ql 2 l ql 3 × = ω1 = ω 2 = × 3 8 2 24 5 l 5l = M C = × 8 4 32 ω1 M C ω2M C 5 ql 4 yC = + = EI EI 384 EI
1 A C
B
§13. 5 卡氏定理 一、定理证明
F1 F2
1. 先给物体加F1、 F2、•••、 Fn 个力，则：
例3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。 q F =1 0 A A B x a C C
B
a
a
a
解：①画单位载荷图 ②求内力
qx 2 M ( x ) = qax − 2
⎧x ⎪ 2 ; (0 ≤ x ≤ a ) ⎪ M ( x) = ⎨ ⎪ 1 ( 2a − x ) ; ( a ≤ x ≤ 2a ) ⎪2 ⎩
l
1 a 1 l = ∫0 (− Fx1 )(− x1 )dx1 + EI 2 ∫0 (− Fa)(−a)dx2 EI1 a Fa 3 Fa 2l = + x1 B B 3EI1 EI 2
A x2 EI1 EI2 C （a） C l
x1 A
F
x2
1
（b）
②求截面B的转角。 a x1 B x2 EI1 EI2 C B x2 1