10.1 一端固定一端铰支的工字形截面细长压杆，已知弹性模量GPa 208=E ，截面尺寸200mm×100mm ×7mm ，杆长m l 10=，试确定压杆的临界压力。

解：4337.16796532121869312200100mm I x =⨯-⨯=4332.11719831271861210072mm I y =⨯+⨯=因为x y I I <，故y I I =()()kN N l EI F cr 1.49101.49100007.02.117198310208323222=⨯=⨯⨯⨯⨯==πμπ10.2 两端固定的圆截面钢质压杆，直径为50mm ，受轴向压力F 作用。

已知GPa 210=E 和MPa 200=p σ，试确定能够使用欧拉公式的最短压杆长度l 。

解：8.10120010210505.044322=⨯⨯==≥⨯⨯===πσπλμμλp p E l d l i l可得：mm l 2545≥10.3 截面为矩形h b ⨯的压杆，两端用柱销联接（在y x -平面内弯曲时，可视为两端铰支；在zx -平面内弯曲时，可视为两端固定）。

已知GPa 200=E ，MPa 200=p σ，试求：（1）当mm 30=b ，mm50=h 时，压杆的临界压力；（2）若使压杆在两个平面（y x -和z x -面）内失稳的可能性相同时，求b 和h 的比值。

解：43331250012503012mm bh I z =⨯==，1=z μ，故()()kNN l EI F z z cr 1171011723001312500102003232221=⨯=⨯⨯⨯⨯==πμπ43311250012305012mm hb I y =⨯==，5.0=y μ，故()()kN N l EI F y y cr 1681016823005.0112500102003232222=⨯=⨯⨯⨯⨯==πμπ故kN F cr 117=。

若使压杆在两个平面（y x -和z x -面）内失稳的可能性相同，则要求()()21124124332222=⇒=⇒=⇒=h b hb bh I I l EI l EI yz y y z z μπμπ10.4 两端铰支的细长压杆，圆形横截面的直径为d 。

假设压杆只发生弹性变形，材料的热膨胀系数为α。

若温度升高T ∆，求临界压力与T ∆的关系。

解：T E Tl EAl F N ∆=⇒∆=ασαcr T E σασ≤∆=42d TE F cr πα∆≥10.5 图示圆截面压杆mm 40=d ，材料M P a 235=s σ。

试求可用经验公式λσ12.1304-=cr 计算临界应力时的最小杆长。

解：s cr σλσ≤-=12.13042.9412.123530412.1304=-=-≥s σλ mm l l i l 7.13452.94107.0≥⇒≥⨯==μλ10.6 图示结构，圆杆BD 的直径mm 50=d ，材料GPa 200=E ，100=p λ，试求结构的临界压力cr F 。

解：F F NB 5.2=p i l λμλ≥=⨯⨯==16050420001，故适用欧拉公式 NA E A F cr NBcr 32232221015145016010200⨯=⨯⨯⨯===ππλπσ kN F F NBcr cr 6.605.2==10.7 由三根细长压杆构成的支架，A 、B 、C 位于同一水平面，三杆截面均为圆形，直径为d ，材料的弹性模量为E ，90=p λ。

A 、B 、C 、D 均为铰链节点。

竖直力F 的作用线恰好通过等边三角形ABC 的形心G 。

已知h AB DG ==，d h 20=。

试确定最大允许的力F。

解：由于对称性，三杆轴力相同，不妨假设为N F 。

三杆的杆长均为h h h l 3323322=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 由竖直方向的平衡方程，有()N N NN F Fl h F GDB F F 2332333cos 3===∠= 4.923316033834321===⨯⨯⨯==d h d h i lμλ因为p λλ>，适用于欧拉公式，故223224λπλπσEd A E A F cr Ncr === 即，223833233λπEd F F Ncr cr ==10.8 图中AB 为刚杆，圆截面细长杆1、2为两端铰支约束，材料、长度、直径均相同，求临界压力cr F 。

解：只有当1、2杆均失稳，整个结构才失稳。

()243222164l Ed l EI F F cr cr πμπ=== 由平衡方程，有2432121643223l Ed F F F a F a F a F cr cr cr cr cr cr π=+=⇒⋅+⋅=⋅10.9 如图所示的杆系ABC ，由两根细长压杆通过铰支相连，压杆的横截面尺寸和材料相同。

试求使得临界压力F 值最大时的角度β（ 90<β）。

解：设AB 距离为l ，则AC 长度为l 23，BC 长度为2l 。

由AC 杆，有22,34l EIF AC cr π=，则有βπβsin 34sin 22,1l EI F F AC cr cr == 由BC 杆，有22,4l EIF BC cr π=，则有βπβcos 4cos 222l EI F F BC cr == 综合考虑，只有当21cr cr F F =，临界压力F 值最大，故有31tan =β， 4.18=β10.10 图示蒸汽机的活塞杆AB ，所受压力KN F 120=，m l 8.1=，截面为圆形，直径mm 75=d ，材料为钢，GPa 210=E ，MPa 240=p σ。

规定的稳定安全因数8=st n ，试校核活塞杆的稳定性。

解：964/7518001=⨯==ilμλ 9.9224010210322=⨯⨯==πσπλp p E因为p λλ>，适用于欧拉公式，故()()()kNN l Ed l dEl EI F cr 99410994180064751021064643243324324222=⨯=⨯⨯⨯⨯====πμπμππμπ828.8120994>===F F n cr st 故，活塞杆满足稳定性要求。

10.11 发动机连杆由Q235钢制成，如图所示。

若m l 21=，m l 7.12=，mm b 30=，mm h 60=，材料的弹性模量GPa E 210=。

规定的稳定安全因数0.3=st n ，试确定最大工作压力F 。

解：查表得，Q235钢：100=p λ，临界应力的欧拉公式为：λσ12.1304-=cr x -z 平面：mm b i y 66.8123012===14.9866.817005.02=⨯==y y y i l μλx -y 平面：mm h i z 3.17126012===，5.1153.17200011=⨯==z z z i l μλ故5.115=λ，发动机连杆失稳发生x -y 平面。

因为p λλ>，适用于欧拉公式，故MPa E cr 1555.1151021023222=⨯⨯==πλπσkN N A F cr cr 2801028030601553=⨯=⨯⨯==σ最大工作压力为kN n F F st cr 2.933280===。

10.12 悬臂梁AB 用一根外径mm 40=D 和内径mm 30=d 的钢管BC 支撑，梁和钢管的材料均为pA235Q 。

当一个重N 250的块体Q 从mm 8=h 的高度落到B 点，试校核压杆BC 的稳定性。

已知m 3=a ，m 2=b ，梁AB 的惯性矩4cm 2450=I ，材料的弹性模量GPa 200=E ，规定的稳定安全因数8.2=st n 。

（提示：本题待学习动载荷一章后，再行求解） 解：mm d D i 5.124304042222=+=+=，1605.1220001=⨯==i b μλ因为100=>p λλ，故适用于欧拉公式，则()()()kNN b d D E l EI F cr 4.42104.4220006430401020064324433244322=⨯=⨯-⨯⨯⨯=-==ππμπ 如图结构承受静载荷Q 作用，则变形协调条件BC B l w ∆=，有()()()N Aa bI A Qa R EA Rb EI a R Q 55.247300043040245000002000343040300025033322223333=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=+=⇒=-ππ故()mm EIa R Q w B33105.43-⨯=-=，故动荷因素为6.60105.416112113=⨯++=++=-Bd w h k故，kN N R k F d BC d 67.35.367355.2476.60,==⨯== 因为，st BC d cr n F F n >===5.1167.34.42, 故压杆BC 满足稳定性要求。

10.13 图示构架，AB 为刚性杆，AC 、BD 、BE 均为细长杆，且它们的材料、横截面均相同，横截面面积为A ，惯性矩为I ，力F 作用于AB 杆的中点。

设材料的弹性模量为E ，稳定安全系数3=st n ，求许可载荷[]F 。

解：由平衡方程，可得2FF NA =，22F F F NBE NBD == AC 杆：2122,cr NA cr F a EI F ==π 2212a EIF cr π=BD 或BE 杆：()222222,cr NBD cr F aEIF ==π 2222a EIF cr π=故，222a EIF cr π=，[]2232a EIn FF stcr π==。

10.14 钢杆的尺寸、受力和支座情况如图所示。

已知材料的比例极限M Pa 200=p σ，屈服极限M Pa 240=s σ，弹性模量GPa 200=E ，直线公式的系数MPa 304=a ，MPa 12.1=b 。

试求其工作安全系数。

解：3.9920010200322=⨯⨯==πσπλp p E1.5712.1240304=-=-=b a s s σλ 左边杆：754/249005.0=⨯==i l μλ因为s p λλλ>>，适用于直线公式，故MPa b a cr 2207512.1304=⨯-=-=λσkN N A F cr cr 5.99105.9942422032=⨯=⨯⨯==πσ右边杆：804/288007.0=⨯==i l μλ因为s p λλλ>>，适用于直线公式，故MPa b a cr 2148012.1304=⨯-=-=λσkN N A F cr cr 97100.9742821432=⨯=⨯⨯==πσ综合，可得整个结构的临界压力为kN F cr 97=，故其工作安全系数为23.33097===F F n cr10.15 图示结构ABC 为矩形截面杆，mm 60=b 、mm 100=h 、m 4=l ，BD 为圆截面杆，mm 60=d ，两杆材料均为235Q 钢，GPa 200=E ，MPa 200=p σ，均布载荷m /kN 1=q ，稳定安全系数3=st n 。