Vε2
Δ
V V 1 V 2
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
线弹性,位移可以叠加,但应变能不能叠加
FP FP
FP
FP1+FP2
FP1 O Δ 1 Vε1 Δ FP2
Vε2
O Δ2
Vε Δ Vε1 O Δ2 Δ
V2 Δ1 ε Δ
V V 1 V 2
第10章 材料力学中的能量方法
M
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
A
FP FP B
V 1
A B
V 2
A
V 3 V 1 V 2
FP FP
M
V 3
BM
M
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
F A
C
B
l
A
l C l
F B
M
V 3 V 1 V 2 ?
l
A
M l
C l
B
第10章 材料力学中的能量方法
FS1 ΔPS1 FS2 ΔPS2 FSn ΔPSn
功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起 的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一 个力系引起的相应的位移上所作之功。
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
FP1 FS1
P1 SP1 S1
FP2
互等定理
功的互等定理
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
FP2 FP1 FPm
…
P1 P2
FS2 FS1
Pm
FSn
FP 系统
…
S2
Sn
S1
FS 系统
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于拉伸和压缩杆件
dx 对于拉伸和压缩杆件，微段 的应变能为
FN
FN
dVε
1 FN dx 2
dx + dx
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于拉伸和压缩杆件
dx 对于拉伸和压缩杆件，微段 的应变能为 FN
Vε＝
dx+dx
…
P S1 P S2
P Sn
FP 系统
FS2 FS1
FSn
…
FS 系统
FS1 ΔPS1 FS2 ΔPS2 FSm ΔPS m
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP2 FPmΔSP m
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡， 这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，作用在弹性 体上的力，由于加力点的位移，也作功，但不是变力功，而是常 力功:
FP FP
W＝FPΔ
Δ´
需要指出的是，上述功的表达式中，力和位移都是广义的。 FP 可以是一个力，也可以是一个力偶；当 FP是一个力时，对应 的位移 Δ和 Δˊ都是线位移，当 FP是一个力偶时，对应的位移 Δ和 Δˊ都是角位移。
能量守恒原理的应用及其局限性
A B
2 3
1
FP1 FP2
C
FP3
承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生 变化，因而外力作功。
如果不考虑加载过程中其他形式的能量损耗，根据机 械能守恒定理，外力所作的功，全部转变为应变能储存于构 件或结构内。
第10章 材料力学中的能量方法
能量守恒原理的应用及其局限性
非线性弹性，位移也不可以叠加
FP FP
FP
FP1+FP2 FP2
1
Δ Δ2 O Δ2 Δ Δ
FP1
O Δ1
Δ
O
1+2
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
FP A B
A
B
V 3 V 1 V 2 ?
M
FP A B
V 3 V 1 V 2
FP1 FP2 FPm
… FP 系统
FS2 FSn
FS1
…
SP2
SPm
SP1
FS 系统
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP2 FPmΔSP m
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
FP1 FP2 FPm
互等定理
一个有意义的结果
FP
FP
FP1 O Δ1
Δ2
Δ
FP2 O Δ2
Δ1
Δ
FP1 Δ2 FP 2 Δ1
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
应用能量守恒原理和叠加原理，可以导出功的 互等定理与位移互等定理。
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理
位移互等定理
第10章 材料力学中的能量方法
FS2
P2
FPm
Pm
FSn
FP 系统
S2
SP2
SP m
Sn
FS 系统
1 1 1 Vε ＝ FP1Δ P1＋ FP 2Δ P 2＋ ＋ FP mΔ Pm 2 2 2 1 1 1 FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP 2 FPmΔSPm
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP 2 FPmΔSPm
1 1 1 Vε ＝ FP1Δ P1＋ FP 2Δ P2＋ ＋ FP mΔ Pm 2 2 2 1 1 1 FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2
第10章 材料力学中的能量方法
本章将介绍：
☆ 功和能的基本概念； ☆ 虚位移原理； ☆ 莫尔积分； ☆ 计算莫尔积分的图乘法;
重点是基本概念和图乘法。
第10章 材料力学中的能量方法

基本概念 互等定理 应用于弹性杆件的虚位移原理 计算位移的莫尔积分 直杆莫尔积分的图乘法 结论与讨论
A B
3
C
FP3
通过计算构件或结构的应变能，可以确定构件或结构 在加力点处沿加力方向的位移。 但是，根据机械能守恒定律，难以确定构件或结构上任 意点沿任意方向的位移，也不能确定构件或结构上各点的位 移函数。
第10章 材料力学中的能量方法
应用更广泛的能量方法，可以确定:
构件或结构上加力点沿加力方向的位移; 构件或结构上任意点沿任意方向的位移; 不仅可以确定特定点的位移，而且可以 确定梁的位移函数。
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP 2 FPmΔSPm
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
FP1 FS1
P1 SP1 S1
FP2
FS2
P2
FPm
Pm
FSn
S2
SP2
SP m
FP1 F S1
P1 S1
FP2
FS2
S2 P2
…
PS2
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
上述应变能表达式必须在小变形条件下，并且 在弹性范围内加载时才适用。
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
叠加原理的应用限制
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
线弹性，位移可以叠加
FP FP
FP
FP1+FP2
FP2 FP1 O Δ 1 Δ O Δ Δ2 O Δ2 Δ
第10章 材料力学中的能量方法

基本概念
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第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
作用在弹性杆件上的力所作的 常力功和变力功 杆件的弹性应变能
叠加原理的应用限制
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
作用在弹性杆件上的力所作的
常力功和变力功
第10章 材料力学中的能量方法
Δ1
Δ
Δ=Δ1+ Δ2
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
线弹性,位移可以叠加,但应变能不能叠加
FP FP
FP
FP1+FP2
FP1 O Δ 1 Vε1 Δ FP2
Vε1
Δ1
Vε2
O Δ Δ2
Vε O Δ2 Δ
Vε2
Δ
V V 1 V 2
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
…
FPm FSn
S n PSn
Pm
PS1
小变形、弹性范围加载的情形下，最后的变形状态与加载 顺序无关。而应变能只与最后的变形状态有关。
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
1 1 1 Vε ＝ FP1Δ P1＋ FP 2Δ P 2＋ ＋ FP mΔ Pm 2 2 2 1 1 1 FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2
不同的内力分量引起的应变 能，在什么条件下才能叠加？
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
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第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
线弹性,位移可以叠加,但应变能不能叠加
FP FP
FP
FP1+FP2