湖南科技学院二○一五年 上 学期单元测试计算机科学与技术专业 2014年级 高等数学（二）试题考试类型：闭卷 试卷类型：A 卷 考试时量： 120分钟1⎰⎰-=ydx y x f dy 3031),(dy y x f dx x⎰⎰-312),(2 设L 为圆周t a x cos =，t a y sin =)20,0(π≤≤>x a ，则⎰=L ds a π23 设L 为球面1222=++z y x 与平面0=++z y x 相交的圆周，则⎰=Lxds 04 若曲线L 是1)1(22=+-y x ，方向为逆时针，则=++⎰dy e x dx xe y y Ly 222)(π-5 设曲线L ：)0(222>=+a a y x ，方向逆时针，则=+⎰dx y xL)(226 设S 是由柱面122=+y x 和平面0=z 及4=z 所围成的闭曲面，方向取外侧，则⎰⎰=+Szdxdy dydz x2π47 =+-∑∞=1)15)(45(1n n n 158 幂级数11n n x n +∞=∑收敛区间为 [1,1)- 9 曲面22z x y =+与平面9z =所围成的空间立体的体积用二重积分可表示为9:,)9(2222≤+--=⎰⎰y x D dxdy y x V D二、选择题（每小题3分，共24分）1 用格林公式表示闭曲线L 所围成的区域D 的面积=S （ B ）（A ）⎰-Lydx xdy （B ）⎰Lxdy （C ）⎰Lydx （D ）⎰+Lydx xdy2 有分片光滑的闭曲面S 所围成的立体的体积是 （ C ）（A ）⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz （B ）⎰⎰--Szdxdy ydzdx xdydz（C ）⎰⎰+-Szdxdy ydzdx xdydz （D ） ⎰⎰+Sydzdx xdydz3 下列级数中条件收敛的是 （ B ）（A ）∑∞=+-11)1(n nn n （B ）∑∞=-11)1(n n n （C ）∑∞=-121)1(n n n （D ）∑∞=+-1)1(1)1(n nn n 4 下列选项中哪一个不是曲线积分⎰+LQdy Pdx 与路线无关的等价条件。

（ C ）(A)x Q y P ∂∂=∂∂ (B) 0=+⎰Qdy x Pd L (C) yQ x P ∂∂=∂∂ (D) Qdy Pdx d +=μ 5设S ：)0(,1222≤=++z z y x ，1S 为S 在第五卦限中的部分，则有)(C（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS （B ） ⎰⎰⎰⎰=14S SydS ydS（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SzdS zdS （D ） ⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS6 设S 为球面1222=++z y x ，则曲面积分=⎰⎰dS yx S2（ D ）（A ）1- （B ）1 （C ）2 （D ）07 设1:222222≤++c z b y a x V ，则⎰⎰⎰=+Vdxdydz z )1(（ A ）（A ）43abc π （B ）3abc π （C ）4abc π （D ）0三、解答题（每小题7分，共42分）1 设L 是t y t x sin ,cos ==上从0=t 到π=t 的一段，求⎰-Lydy xdx 。

解：原式dt t t t t )cos sin cos sin (0--=⎰π⎰-=π2sin tdt0=2 设L 是顶点为)1,0(),0,1(),0,0(B A O 所围成的三角形边界，求ds y x L⎰+)(解： AB OB OA ,,所在直线方程分别为1,0,0=+==y x x y ， 所以 原式⎰⎰⎰++=OBOAAB⎰⎰⎰++=110ABds ydy xdx21+=3 求⎰⎰++Ddxdy y y x )(22，其中D 是1)1(22=++y x 所围成的平面区域。

解：由题意知积分区域D 关于x 轴对称，所以⎰⎰=Dydxdy 0。

1分设θθsin ,cos r y r x ==，则232,cos 20πθπθ≤≤-≤≤r 2分 所以原式dr r d ⎰⎰-=θππθcos 202232θθππd 3232cos 38⎰-=932=4 求dxdydz z y x V⎰⎰⎰++)(，V 是球面2222=++z y x 与锥面z =所围立体。

解：由对称性知()0Vx y dxdydz +=⎰⎰⎰，设sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r ϕθϕθϕ=== 则 原式2134cos sin Vzdxdydz d d r dr ππθϕϕϕ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4cos sin 28d πππϕϕϕ==⎰5 设V 是锥面z =与半球面z =, S 是V 的整个边界的外侧, 求Sxdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰.解: 由高斯公式和球面坐标变换:sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r ϕθϕθϕ===, 有3SVxdydz ydzdx zdxdy dxdydz ++=⎰⎰⎰⎰⎰223403sin 2(1Rr dr d d R ππϕϕθπ==⎰⎰⎰ 注: 三重积分还可以柱面坐标变换和截面法求.6 求幂级数20121n n x n ∞=+∑的和。

解: 设2101()21n n S x x n ∞+==+∑,(0)0S =, 则201()21n n S x x n x ∞==+∑。

易知幂级数收敛半径为1R =,在1x =±时幂级数发散,故收敛域为(1,1)-.由幂级数的性质有因为2201()1nn S x x x ∞='==-∑,所以20111()ln 121x x S x dt t x +==--⎰ 0x ≠时， 所以2101111()()ln2121n n xS x x S x n x x x ∞=+===+-∑四、证明题（每小题5分，10分） 1 已知级数∑∞=12n na和∑∞=12n nb都收敛, 试证明级数∑∞=1n nn ba 绝对收敛.证明：因为222n n n n b a b a +≤，且∑∞=12n n a 和∑∞=12n n b 都收敛，由比较判别法知∑∞=1n nn ba 绝对收敛2 求证：11()(),:||||1Rf x y dxdy f u du R x y -+=+≤⎰⎰⎰证明：设,x y u x y v +=-=，则:1,1R u v '-≤≤且(,)111(,)11(,)2(,)11x y u v u v x y ∂===-∂∂∂-所以(,)()()||(,)RR x y f x y dxdy f u dudv u v '∂+=∂⎰⎰⎰⎰1111111()()2f u du dv f u du ---==⎰⎰⎰湖南科技学院二○一五年 上 学期单元测试计算机科学与技术专业 2014年级 高等数学（二）试题考试类型：闭卷 试卷类型：B 卷 考试时量： 120分钟1⎰⎰=ydx y x f dy 2010),(⎰⎰1220),(x dy y x f dx2 设D 由0,y x y x ===所围成的闭区域，则2sin Dx dxdy =⎰⎰21 3 设L 为圆周t a x cos =，t a y sin =)20,0(π≤≤>x a ，则⎰=Lds x 23a π4 设L 为球面1222=++z y x 与平面0=++z y x 相交的圆周，则⎰=Lyds 05 若曲线L 是1)1(22=+-y x ，方向为逆时针，则=++⎰dy e x dx xe y y Ly 222)(π-6=∑∞=-11)2(ln n n 11ln 2-7 幂级数1(1)nn x n n ∞=+∑收敛区间为 [1,1]-8 设S 是球面1222=++z y x ，方向取外侧，则=⎰⎰Sdzdx y x229 设S 是由柱面122=+y x 和平面0=z 及4=z 所围成的闭曲面，方向取外侧，则⎰⎰=+Sydxdyxdydz π4二、选择题（每小题3分，共24分）1 用格林公式表示闭曲线L 所围成的区域D 的面积=S （ B ） （A ）⎰-Lydx xdy （B ）⎰Lxdy （C ）⎰Lydx （D ）⎰+Lydx xdy2 有分片光滑的闭曲面S 所围成的立体的体积是 （ C ） （A ）⎰⎰++Szdxdy dzdx xdydz （B ） ⎰⎰-Sydzdx xdydz（C ）⎰⎰+-Szdxdy ydzdx xdydz （D ） ⎰⎰+Sydzdx xdydz3 下列级数一定发散的是 （ D ）（A ）11(1)n n n +∞=-∑ （B ）∑∞=13sin n n n（C ）∑∞=121arctan n n（D ） ++-+++-+nn n 1)1(342311 4 下列选项中哪一个不是曲线积分⎰+LQdy Pdx 与路线无关的等价条件。

（ C ）(A)x Q y P ∂∂=∂∂ (B) 0=+⎰Qdy x Pd L (C) yQx P ∂∂=∂∂ (D) Qdy Pdx d +=μ 5 设S ：)0(,1222≥=++x z y x ，1S 为S 在第一卦限中的部分，则有（ A ）（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS （B ） ⎰⎰⎰⎰=14S SydS ydS（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SzdS zdS （D ） ⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS6 设S 为球面1222=++z y x ，则曲面积分=⎰⎰ydS xS2（ C ）（A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）2 7 设平面域D 由1,21=+=+y x y x 及两坐标轴围成，dxdy y x I D⎰⎰+=31)ln(， d x d y y x I D⎰⎰+=32)(，dxdy y x I D⎰⎰+=33)sin(，则 （ C ） （A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ） 231I I I << （D ）123I I I <<三、解答题（每小题7分，共42分）1 设L 是t y t x sin ,cos ==上从0=t 到π=t 的一段，求⎰-+Lydy dx x )1(解：原式dt t t t t t )sin cos sin cos sin (0---=⎰π⎰⎰--=ππ0sin 2sin tdt tdt2-=2 设L 是顶点为)1,0(),0,1(),0,0(B A O 所围成的三角形边界，求ds y x L⎰++)1(解： AB OB OA ,,所在直线方程分别为1,0,0=+==y x x y ， 所以 原式⎰⎰⎰++=OBOAAB⎰⎰⎰++++=1012)1()1(ABds dy y dx x223+=3求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 所围成的平面区域。