高等数值分析第二次实验作业T1.构造例子特征值全部在右半平面时, 观察基本的Arnoldi 方法和GMRES 方法的数值性态, 和相应重新启动算法的收敛性. Answer:（1） 构造特征值均在右半平面的矩阵A ：根据实Schur 分解，构造对角矩阵D 由n 个块形成，每个对角块具有如下形式，对应一对特征值i i i αβ±ii i i i S αββα-⎛⎫= ⎪⎝⎭这样D=diag(S 1,S 2,S 3……S n )矩阵的特征值均分布在右半平面。

生成矩阵A=U TAU ，其中U 为正交阵，则A 矩阵的特征值也均在右半平面。

不妨构造A 如下所示：2211112222/2/2/2/2N NA n n n n ⨯-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 由于选择初值与右端项：x0=zeros(2*N,1);b=ones(2*N,1);则生成矩阵A 的过程代码如下所示：N=500 %生成A 为2N 阶 A=zeros(2*N); for a=1:NA(2*a-1,2*a-1)=a; A(2*a-1,2*a)=-a; A(2*a,2*a-1)=a; A(2*a,2*a)=a; endU = orth(rand(2*N,2*N)); A1 = U'*A*U;（2） 观察基本的Arnoldi 和GMRES 方法编写基本的Arnoldi 函数与基本GMRES 函数，具体代码见附录。

function [x,rm,flag]=Arnoldi(A,b,x0,tol,m) function [x,rm,flag]=GMRES(A,b,x0,tol,m)输入:A 为方程组系数矩阵，b 为右端项，x0为初值，tol 为停机准则，m 为人为限制的最大步数。

输出:x 为方程的解，rm 为残差向量，flag 为解是否收敛的标志。

外程序如下所示： e=1e-6; m=700;tic[xA,rmA,flagA]=Arnoldi(A1,b,x0,e,m);toctic[xG,rmG,flagG]=GMRES(A1,b,x0,e,m);tocsubplot(1,2,1);semilogy(rmA)title('ArnoldiÊÕÁ²ÇúÏß')xlabel('µü´ú²½Êýk')ylabel('log(||rk||)')subplot(1,2,2);semilogy(rmG)title('GMRESÊÕÁ²ÇúÏß')xlabel('µü´ú²½Êýk')ylabel('log(||rk||)')得到：得到两种方法的收敛曲线如上所示，将计算结果整理在下表中：结果讨论：1.从图中可以看出，基本的Arnoldi方法经过546步收敛，基本的GMRES方法经过526步收敛，基本的GMRES收敛速度会略快于基本的Arnoldi方法。

2.从图中可以看出，GMRES方法的的性态较Arnoldi方法更好。

Arnoldi方法会有平台和不光滑段，但是由于GMRES具有的残差最优性，GMRES方法平稳地收敛，收敛曲线也更光滑。

（3）观察重新启动的Arnoldi和GMRES方法在上述两个函数的基础上，编写了重新启动的Arnoldi函数（详情见附录）：function [x,rm,flag,Maxi]=ArnoldiM(A,b,x0,tol,m,Maxm)输入：m为给定步数,Maxm为人为限制的最大重启次数。

输出：x为方程的解，rm为残差向量，flag为解是否收敛的标志，Maxi为重启次数。

首先编写程序，计算重启次数Maxi与给定步数m的关系，为选取给定步数m给出依据：num_restartA=[];num_restartG=[];for m=10:10:150tic[xG,rmG,flagG,MaxiG]=GMRESM(A,b,x0,tol,m,Maxm);[xA,rmA,flagA,MaxiA]=ArnoldiM(A,b,x0,tol,m,Maxm);num_restartA=[num_restartA MaxiA];num_restartG=[num_restartG MaxiG];tocendm1=10:10:150;plot(m1,num_restartA,'o-',m1,num_restartG,'*-')从上述结果中看到在m=50之后，重启次数随着给定步长的增加减少很慢，进入饱和。

故可以取m=50，最大步数可知在50步以，运算程序如下所示：m=50;Maxm=50;tic[xA,rmA,flagA,MaxiA]=ArnoldiM(A,b,x0,tol,m,Maxm);toctic[xG,rmG,flagG,MaxiG]=GMRESM(A,b,x0,tol,m,Maxm);tocm1=1:MaxiA;m2=1:MaxiG;plot(m1,log10(rmA),'o-',m2,log10(rmG),'*-')title('Á½ÖÖÖØÆôËã·¨µÄÊÕÁ²ÇúÏß')xlabel('ÖØÆô´ÎÊýk')ylabel('log(||rk||)')得到的收敛曲线结果如下图所示：得到两种方法的收敛曲线如上所示，将计算结果整理在下表中：结果讨论：1.重启次数随着m的增大而减小，当m增大到一定程度如50之后，减小很缓慢，当m非常大的时候，就过度到了基本算法。

重启的算法如何选择合适的m的因问题而不同。

2.重启算法的总迭代次数（重启次数×m）要多于基本的算法。

这是由于在重启动时，从另一个我们认为更好的初值点（其实不一定好）x0重新开始计算，可能会丢掉一些之前算过的信息。

3.重启算法与基本算法相比，虽然总迭代次数增加了，但是运算速度却能大大提高，运行时间远远小于基本算法（尤其是重启GMRES算法）。

4.一般情况，对于同一个题目，重启的GMRES方法收敛速度要比Arnoldi方法快；5.总的来说，对题中的矩阵A，四种方法均能稳定地收敛。

T2. 对于1 中的矩阵, 将特征值进行平移, 使得实部有正有负, 和1 的结果进行比较,方法的收敛速度会如何? 基本的Arnoldi 算法有无峰点? 若有, 基本的GMRES 算法相应地会怎样?Answer:对A 的特征值进行平移，如对S 矩阵的实部统一减去一个数s ，则小单元矩阵S 对应的一对特征值变为()i i s i αβ-±，当矩阵A 构造同上题，那么控制s 的大小，即控制了实部为负的特征值的个数。

i i i i i s S s αββα--⎛⎫= ⎪-⎝⎭这里将上面的矩阵生成做如下改造：clear all ; N=500 tol=1e-6; m=50; Maxm=50; A=zeros(2*N); s=1.5for a=1:NA(2*a-1,2*a-1)=a-s; A(2*a-1,2*a)=-a; A(2*a,2*a-1)=a; A(2*a,2*a)=a-s; endU = orth(rand(2*N,2*N)); A1 = U'*A*U;改变s 的值，进而改变实部为负的特征值个数，计算结果整理如下表所示：结果讨论：1. 当开始有负半平面的特征值时，个数比较少时（如小于100时），随着个数的增加，基本的Arnoldi 和基本的GMRES 迭代次数明显变多，收敛速度明显变慢；当负半平面特征值个数继续增加（如大于100时），两者的迭代次数减少，收敛速度明显变快，并且将比第一题的收敛速度快很多，迭代次数少很多。

2. 当开始有负半平面的特征值时，个数比较少时（如小于100时），随着个数的增加，Arnoldi出现峰点，峰点个数与其特征值的分布有关系，但整体仍收敛。

这是由于负特征值的存在，使得海森贝格矩阵H 发生近似奇异而发生近似中断而引起的。

然而，GMRES的残100200300400500600700800迭代次数 k-5-4-3-2-1123log (| |r k | |)差始终平稳下降，当Aronldi 出现尖峰时，GMRES 的残差不变具有最优性。

T3. 对1 中的例子固定特征值的实部, 变化虚部, 比较收敛性。

Answer:首先对T1的代码进行简单修改，实部不变，虚部进行一定的放大（引入系数k ）。

每个对角块具有如下形式，对应一对特征向量'i i i αβ+''ii ii S αββα⎛⎫-= ⎪⎝⎭上式中的'i i k ββ=相应代码如下所示（以Arnoldi 为例），取k=0.2,0.5,1,2,5这五种情况。

N=500A1=zeros(2*N); k1=0.2; for a=1:NA1(2*a-1,2*a-1)=a; A1(2*a-1,2*a)=-k1*a; A1(2*a,2*a-1)=k1*a; A1(2*a,2*a)=a; endU = orth(rand(2*N,2*N)); A1 = U'*A1*U;%篇幅所限，此处省去了A2~A5，同理可得。

k5=5; for a=1:NA5(2*a-1,2*a-1)=a; A5(2*a-1,2*a)=-k5*a; A5(2*a,2*a-1)=k5*a; A5(2*a,2*a)=a; endU = orth(rand(2*N,2*N)); A5 = U'*A5*U;x0=zeros(2*N,1); b=ones(2*N,1); e=1e-6; m=1000;[xA1,rmA1,flagA1]=Arnoldi(A1,b,x0,e,m); [xA2,rmA2,flagA2]=Arnoldi(A2,b,x0,e,m); [xA3,rmA3,flagA3]=Arnoldi(A3,b,x0,e,m); [xA4,rmA4,flagA4]=Arnoldi(A4,b,x0,e,m);[xA5,rmA5,flagA5]=Arnoldi(A5,b,x0,e,m);m1=1:size(rmA1,2);m2=1:size(rmA2,2);m3=1:size(rmA3,2);m4=1:size(rmA4,2);m5=1:size(rmA5,2);plot(m1,log10(rmA1),m2,log10(rmA2),m3,log10(rmA3),m4,log10(rmA4),m5,l og10(rmA5))title('»ù±¾Arnoldi·½·¨ÊÕÁ²ÇúÏß')xlabel('µü´ú´ÎÊýk')ylabel('log(||rk||)')hg1 = legend('k=0.2', 'k=0.5','k=1','k=2','k=5');计算结果如下所示：结果讨论：1.随着比例因子k的增大，虚部被放大，Arnoldi方法和GMRES方法的收敛速度均减慢，迭代次数增加；2.同时，随着比例因子k的增大，Arnoldi过程跳动越来越严重，峰点个数增加，发生近似中断的次数增加；而GMRES方法的残差始终保持单调平稳下降。