第三次作业第八题
取b=(1,1,1,...1)T,x0=0，停机准则为10-6。

1）当取A1=(a ij)=1/(i+j-1)时，取阶数n=50，m=20时，得到收敛曲线如下
结果表明，重启的GMRES算法没有重启就得到了非常精确的结果。

这是由于该矩阵在n 较小时的数值正定特性有关。

取n=500 m=20计算结果如下，该图为重启次数与残差之间的关系曲线
可以看出，该方法重启100步都无法收敛到10-6。

提高m的值为m=100，计算如下
从结果中可以看出，第一次计算（未重启）就得到了精确的结果。

该方法是数值qi
下面将阶数增为1000，m=20计算如下
图中可以看出，重启的GMRES已经无法收敛，并且残差下降非常慢，没有再进行计算的必要。

将m增为100，结果依然如前面，在一次重启就解出了结果。

2）当取A=A2
◆当n=100时，对该矩阵使用GMRES方法，迭代20步即得到结果。

使用GMRES(m)，当m=10时，重启一次即可得到类似精度的结果，与GMRES方法的迭代步数一致（但是GMRES(m)代价小）。

◆当n=500时，m=10时，重启一次得到结果，残差变化如下图
⏹当n=500时，m=10时，收敛速度与前一次相同，重启动一次即可得到结果
对于条件数较小，且规则的矩阵，求解速度很快，总迭代次数几乎不随m或n变化。

3）对于A3矩阵，当n=1000阶时，当m=10时，经过九次重启即可得到精确的结果，重启时的残差与重启次数的关系如下图
总结：
1.GMRES方法比GMRES(m)方法收敛性好，GMRES(m)方法延迟了收敛。

2.但是GMRES方法随着迭代次数增大，代价急剧增大，求解越来越慢。

GMRES(m)方法则可能在非常小的代价下求得适合精度的结果。

3.GMRES(m)方法虽然代价小，但是求解结果不一定收敛，与m值的取值和本身的问题有关。

4.GMRES和GMRES(m)方法均满足残差单调不增的原则，但是重启的GMRES(m)方法在重启点处可能会发生残差增大的现象。

第三次作业第四题
按照题目要求编程求解，得到的结果如下: ● 当n=100,m=10时，曲线的残差如下所示
从图中可以看出，方法仅在第一步减小，随着步长增加，残差rk 以及x-x*不再变化，方法失效。

01234
567891011101
迭代次数
||x k
-x *||
||x k -x *||的变化曲线
12345
67891011
10
0.21
10
0.23
10
0.25
10
0.27
100.29
10
0.31
10
0.33
迭代次数
||b -A x m
||
||b-Ax m ||的变化曲线
● 当n=100，m=100时，方法一步收敛，||b-Ax m ||以及||x m -x*||精度为机器精度。

经过多次实验，改变n 和m 的值，总结实验现象如下：
● 在m<n 时，这个方法对于这个A 和b 矩阵来说，是失效的，无论进行多少步也无法收敛； ● 当m=n 时，方法一步收敛，得到精确解。