∗
������
=
6 ������
5
+
2 3
7. (2011.1)用 Givens 变换 QR 分解一个 3*2 矩阵，并求解最小二乘。
2 0 2

1
1

1

1 1 1
A=
B=
(2010.4)采用 Givens 算法对 A 进行 QR 分解，并利用得到的分解，进行最小二乘运算 min||Ax-b||

v(2) Au(1) (0.5, 2, 2.5)T , 2.5,
v(8) Au(7) (2.7650948, 2.9981848, 2.9990924)
2.9990924
u(8) (0.9219772, 0.9996973,1) v(9) Au(8) (2.8436517, 2.9993946, 2.9996973)
此例中比值为
2 2 .
1
3
(2008.6)
������������
=
������ √������
(������,
������,
������)������，P0=v0HAv0
|Av0-p0v0|较大
v1=Av0=√������������ (−������, ������, −������)������
A=
2

2 0
1 1 1 1 B= 1 1 1
(2006) 用 Givens 变换 QR 分解一个 3*2 矩阵，并求解最小二乘。
2 0 1
A=

1
1 B= 1

1
1

1
(2006)
1) A a1 a2
2
1
Givens 见第 7 题。 2. (2012.2) (1).证 Rayleigh 商收敛于主特征值，参考讲义。 (2).幂法算主特征值对应的主特征向量，按步骤做，一般的初值都是一步收敛。 (2011.5)A=uv’，u、v 均为向量，A 的秩为 1. (1) 证明 u’v 为 A 的特征值 (2)A 还有哪些其他的特征值。答案：0 (3)用幂法求 A 的主特征值，几步可以收敛？为什么？答案：1 步 (2009.5)(1)叙述求特征值的幂法。证明：当特征值向量方向的误差 sin(准确特征向量和近似特征向量)=ek 的时候， 相应特征值的误差为 0(ek2)
可以验证 QQT=I，且 R 是上三角阵 ∴QR 分解完成 1)用 HouseHolder 求解的另解
A=[a1 a2]
2
2
a1


1

1
x1


0

0
1

a1 y 1 a1 y
(2 2,1,1)T 2 2 2
2

2
H1
0 1 2 (2008.6) 最大的特征值和相应的特征向量。
取v(0) (0, 0,1)T , 103.
解： u(0) v(0) (0, 0,1)T ,
v(1) Au(0) (0, 1, 2)T , 2,
u (1) v(1) (0, 0.5,1)T ,
111 111 111
λ*I-A = [λ- 1, -1, -1] [ -1, λ- 1, -1] [ -1, -1, λ- 1]
det(ans) =λ3 - 3*λ2 特征多项式λ3 - 3*λ2=0 特征值λ1=0λ2=0λ3=3 特征向量
2 1 0 例：用幂法求矩阵A 0 2 1的按模
2)解：因为 A 的秩为 1，所以������ = ������′������和 n-1 个 0
3)解：因为幂法收敛速度������������ = ������ = ������ 所以一步收敛
������������ ������������
完全一样的另一种写法： 1) (2009.5)(1)
(2) A =
φ1)=∫−11
3
������2������������
=
2
������
5 2
1
|
5 −1
=
4 5
4
4
∴
������0∗
=
((φ������0,φ,φ00))=
3
2
=23，������1∗
=
((φ������1,φ,φ11))=
5 2 3
=65
∴一阶最佳平方估计的插值函数为������0∗
+
������1∗
0

1
2 1
2 1
G2G1A 0 1 A (G2G1)1 0 1
0 0
0 0
∵G2、G1 是正交矩阵

1
Q

G
T 1
G
T 2





1
2 1
1


1

1
2

2 1
2
1
2 1
2
2 2
(2)描述经典/精化的 Arnoldi 方法过程 (2008.4)描述计算计算部分特征值和特征向量的 Arnoldi 方法和精化 Arnoldi 方法。 讲义 P93 95
6.(2012.6)(2008.1)(1)使用插值点 x0=2，x1=2.5，x2=4，求 f(x)=1/x 的二次 Lagrange 插值多项式。f(3)近似值是 多少？实际误差是多少？Ans: 1/60 (2).f(x)= √������，权函数 1，问一阶最佳平方估计的插值函数是多少。Ans: 4/5x+2/15？这题其实用 chebyshev 和 拉格朗日都一样，一阶情况下一样的。 (2009.1)(1)f(x)=√������,x0=0,x1=0.6,x2=0.9，求二项差值。 即用插值计算 f(0.44)并求误差
(2011.5)(1)������=v’u (2) ������������=v’u ������������ = ������������ = ������ (3)一步收敛
1)证明：Au=uv’u=u(v’u)=(v’u)u （即 A uvT
）故 (v’u,u)为特征对
Au uvT u u(vT u)
������������
=
������������ ‖������������‖
=
������ √������
(−������
������
−������)������ ������������ = ������������������������������������ = −������
������
2 1
H 2H 1A


0
1
0 0
1 1

2
2
Q

H 1H 2



1 2
1 2


1 2
1 2
0


2 1
1
2 1

R


0
0
1 0
2
8. (2011.2)证明：对于 Minres 和 Gmres (1)A 有 k 个特征值时，至多 k 步收敛 (2)A 有 n 个不同的特征值，r0 由 k 个属于不同特征值的特征向量构成时，k 步收敛
−������ ������ ������ (2008.6)令 A=( ������ −������ ������ )
������ ������ −������
取初始向量������������
=
������ √������
(������,
������,
������)������，用幂法准确计算
A
的主特征值������和主特征向量。
a1


1

G1


C1

S
1

C1

1 2
S1
1 2
1
S1 C 1
G1A G1a1
2
G1a2

2
0
0
2
C2 S2
2

a (1) 1


2

G2
S 2
C2

C2


2 2
S2
2 2
0
111 (2)用幂法求矩阵[1 1 1]的主特征值和主特征向量。这道题是 05 年秩为 1 的问题的变形，其秩也为 1，看出他
111
1 只有 0 和 u’v=3 两个特征值。3 是主特征值，对应的特征向量是√13*[11]。所以可以一开始就把其初始向量选为和[1
1 1]相同方向的向量，一步就发现收敛。
������ ������ ������ (2008.3)令 A=(������ ������ ������)
������ ������ ������ 分别用 Givens 变换和 Householder 变换计算 A 的 QR 分解。
0 3 1 A 0 4 2,
2 1 1 Householder
������
|������������������
−
������������������������|
=
|[−������������] ������
������ √������
−
������ √������
[−������������]| ������������