§2 导数在实际问题中的应用 2.1 实际问题中导数的意义
一、选择题
1．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2(t 表示时间)，则当t ＝2时，汽车的加速度是( )
A ．14
B ．4
C ．10
D ．6
2．某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－1
3t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( )
A ．汽车刹车后1s 内的位移
B ．汽车刹车后1s 内的平均速度
C ．汽车刹车后1s 时的瞬时速度
D ．汽车刹车后1s 时的位移
3．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f ′(x )>0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( ) A ．公司已经亏损
B ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小
C ．公司在亏损且亏损幅度变小
D ．公司的盈利在增加，增加的幅度变大
4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )
5．细杆AB 的长为20cm ，M 为细杆AB 上的一点，AM 段的质量与A 到M 的距离的平方成正比，当AM ＝2cm 时，AM 的质量为8g ，那么当AM ＝x cm 时，M 处的细杆线密度ρ(x )为( ) A ．2x B ．3x C ．4x D ．5x
6．如图，设有定圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，它的图像大致是( )
二、填空题
7．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后的位移为s ＝3t 2＋t ，则速度v ＝10时的时刻t ＝________.
8．若某段导体通过的电量Q (单位：C)与时间t (单位：s)的函数关系为Q ＝f (t )＝
120
t 2
＋t －80，t ∈，则f ′(15)＝________，它的实际意义是________________________________． 9．酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8cm ，上口宽6cm ，水以20cm 3/s 的流量倒入杯中，当水深为4cm 时，水升高的瞬时变化率为________．
10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 三、解答题
11．某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝120＋x 10＋x 2
100
(元)．
(1)当x 从200变到220时，总成本c 关于产量x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (2)求c ′(200)，并解释它代表什么实际意义？
12．江轮逆水上行300km ，水速为6km /h ，船相对于水的速度为x km/h ，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x 2L ，即与船相对于水的速度的平方成正比．
(1)试写出江轮在此行程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式：y ＝f (x )； (2)求f ′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度—水速)．
13．在F 1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)．
求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与Δs
Δt ；
(2)求t ＝20时的瞬时速度
四、探究与拓展
14．如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像，它们之间的对应关系分别是________________．
15．一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)＝3t2－ln t.
(1)求当t从1变到2时，电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求Q′(2)，并解释它的实际意义．
答案精析
1．A 2.C 3.B 4.A 5.C 6.D 7.3
2
8.52C/s t ＝15s 时的电流强度为52C/s 9.80
9π
cm/s 10.⎣
⎡⎦⎤－1，－1
2 11．解 (1)当x 从200变到220时，总成本c 从c (200)＝540元变到c (220)＝626元． 此时总成本c 关于产量x 的平均变化率为 c (220)－c (200)220－200
＝86
20＝4.3(元/件)， 它表示产量从x ＝200件变化到x ＝220件时，平均每件的成本为4.3元． (2)c ′(x )＝110＋x 50，于是c ′(200)＝1
10
＋4＝4.1(元/件)．
它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本． 12．解 (1)船的实际速度为(x －6) km/h ，
故全程用时300
x －6h ，所以耗油量y 关于x 的函数关系式为y ＝f (x )＝300×0.01x 2x －6＝3x 2
x －6
(x >6)．
(2)f ′(x )＝3·2x (x －6)－x 2(x －6)2＝3x (x －12)
(x －6)2
，
f ′(36)＝3×36×(36－12)(36－6)2
＝2.88(L
km/h )，
f ′(36)表示当船相对于水的速度为36km/h 时，耗油量增加的速度为2.88L
km/h ，也就是说当
船相对于水的速度为36km /h 时，船的航行速度每增加1 km/h ，耗油量就要增加2.88L. 13．解 (1)因为Δs ＝s (20.1)－s (20) ＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202) ＝21.05(m)，
所以Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)．
(2)因为s ′＝10＋10t ，
所以当t ＝20时，
s ′＝10＋10×20＝210(m/s)， 即当t ＝20时的瞬时速度为210m/s. 14．①→B ②→A ③→D ④→C
15．解 (1)当t 从1变到2时，电荷量从Q (1)变到Q (2)， 此时电荷量关于时间t 的平均变化率为Q (2)－Q (1)
2－1
＝3×22－ln2－(3×12－ln1)1
≈8.31，
它表示从t ＝1s 到t ＝2s 这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C ，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31A.
(2)Q ′(t )＝6t －1
t ，Q ′(2)＝11.5，它的实际意义是在t ＝2s 这一时刻经过该电路的电量为
11.5C ，也就是这一时刻电路的电流为11.5A.。