[方法规律总结] 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点 附近变化的快慢．由上述计算可知，c′(98)＝25c′(90)．它表示 纯净度为98%左右时净化费用的变化率大约是纯净度为90%左 右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要 的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
解：当 t 从 2 变到 2＋Δt 时，函数值 s 从 3×2＋1 变到 3(2＋Δt)＋1， 则ΔΔst＝32＋Δt＋1Δ－t 3×2＋1＝3(m/s)， 当 Δt 趋于 0 时，平均变化率趋于 3，则 s′(2)＝3m/s. s′(2)表示该物体在 t＝2 时的速度为 3m/s.
题目类型二、导数在生活中的应用 例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水纯 净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将 1t 水净化到纯 净度为 x%时所需费用(单位：元)为 c(x)＝150208－4x(80<x<100)． (1)求 c′(x)； (2)求 c′(90)，c′(98)，并解释它们的实际意义．
3．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝ W(t)，则W′(t0)表示( ) A．t＝t0时做的功 B．t＝t0时的速度 C．t＝t0时的位移 D．t＝t0时的功率 [解析] W′(t)表示t时刻的功率． [答案] D
4．设一物体的运动方程是 s(t)＝v0t＋12at2.其中 s 是位移 (单位：m)，t 是时间(单位：s)．则 t＝2s 时的瞬时速度为 ________m/s.
解：(1)当 x 从 50 变到 60 时，成本关于草坪面积 x 的平 均变化率为
f6600－ －f5050＝36000＋60－ 1025000＋50 ＝1101(元/m2)． 它表示在草坪面积从 50m2 增加到 60m2 的过程中，草坪 面积每增加 1m2，成本平均增加 1101 元． (2)f′(x)＝20x＋1，∴f′(50)＝1001(元/m2)． f′(50)表示当草坪面积为 50m2 时，每增加 1m2，成本就 要增加 1001 元．
牛刀小试
1．一质点的运动方程为s＝5－3t2，则该质点在t＝2时的速度等 于( )
A．－12
B．12

C．2
D.－7
[解析] s′＝－6t，∴s′(2)＝－12.
[答案] A
2．一次降雨过程中，降雨量y是时间t(单位：h)的函数，用y＝ f(t)表示，则f′(10)表示( ) A．t＝10时的降雨强度 B．t＝10时的降雨量 C．10小时的平均降雨量 D．t＝10时的温度 [解析] f′(t)表示t时刻的降雨强度，故选A. [答案] A
新知导学
1．在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为__功__率___，它 的单位是__瓦__特_____．
2．在气象学中，通常把单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称 作__降__雨__强__度___，它是反映一次降雨__大__小___的一个重要指标．
3．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导 数称为___边__际__成__本_____，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本 的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量， 需要增加f′(x0)个单位的成本．
解：(1)c′(x)＝(150208－4x)′ ＝5284′×100－1x00－－5x282 4×100－x′ ＝0×100－1x00－－5x2824×－1＝10502－84x2.
(2)c′(90)＝10502－84902＝52.84(元/t)， c′(98)＝10502－84982＝1321(元/t)． 因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率，所以，纯净 度为 90%时，费用的瞬时变化率是 52.84 元/t. 纯净度为 98%时，费用的瞬时变化率是 1321 元/t.
[方法规律总结] 在日常生活和科学领域中，有许多需要用导 数概念来理解的量．例如中学物理中，速度是路程关于时间的 导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导 数等．
变式训练：
某物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝3t＋1， 求函数s＝3t＋1在t＝2处的导数s′(2)，并解释它的实际意义．
第四章 导数应用
§2 导数在实际问题中的应用
2.1 实际问题中导数的意义
学习目标
1．了解导数在实际问题中的意义． 2．能够利用实际问题进一步巩固和加强对导数概念的理解.
知识梳理
思维导航 我们已知汽车行驶的路程关于时间的函数为s＝s(t)，则s′(t)表示 瞬时速度，若速度关于时间的函数关系为v＝v(t)，则v′(t)表示 什么？
∴ΔΔst＝31－72＝17， 即从 t＝2 变到 t＝3 时，s 关于 t 的平均变化率为 17，即 此段时间质点的平均速度为 17m/s. (2)s′(t)＝6t＋2，∴s′(2)＝6×2＋2＝14(m/s)． 即当 t＝2 时的瞬时速度为 14m/s. (3)设该质点的速度为 v m/s，则 v(t)＝s′(t)＝6t＋2， ∴v′(t)＝6，∴v′(2)＝6. 即当 t＝2 时的加速度为 6m/s2.
[解析] s′(t)＝v0＋at，∴s′(2)＝(v0＋2a)m/s. 即t＝2s时的瞬时速度为(v0＋2a)m/s. [答案] v0＋2a
5．修建面积为xm2的草坪需要成本y元，且y是x的函数：y＝f(x) ＝10x2＋x. (1)求当x从50变到60时，成本y关于修建面积x的平均变化率， 并解释它的实际意义； (2)求f′(50)，并解释它的实际意义．
典例剖析
题目类型一、导数在物理中的意义
例 1 设质点做直线运动，已知路程 s(单位：m)是时间 t(单位：s)的函数：s＝3t2＋2t＋1.求：
(1)从 t＝2 变到 t＝3 时，s 关于 t 的平均变化率，并解释 它的实际意义；
(2)当 t＝2 时的瞬时速度； (3)当 t＝2 时的加速度．
解：(1)Δs＝s(3)－s(2)＝(3×32＋2×3＋1)－(3×22＋2×2 ＋1)＝17，