随堂练习 一
第一章 函数与极限
一、填空题
1、43
2lim
23=-+-→x k
x x x ，则k= 。
2、函数x
x
y sin =
有间断点 ，其中 为其可去间断点。
3、若当0≠x 时 ，x
x
x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
4、=++++∞→3
52352)
23)(1(lim
x x x x x x 。
5、3)
2
1(lim -∞
→=+e n
kn
n ，则k= 。
6、函数2
31
22+--=x x x y 的间断点是 。
7、当+∞→x 时，
x
1
是比
3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
9、函数x
e y 1=在x=0处是第 类间断点。
10、设1
1
3
--=
x x y ，则x=1为y 的 间断点。
11、已知33=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
12、设⎪⎩
⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x
x
x f x 若)(lim 0
x f x →存在 ，则a= 。
13、设⎩
⎨⎧>≤+=0,cos 0
,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
二、计算题
1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++
∞
→ ； （2）2)1(321lim n
n n -++++∞→ ；
（3）35lim 22-+→x x x ； （4）1
1
2lim 221-+-→x x x x
（5）)12)(11(lim 2x
x x -+
∞
→ ； （6）x x x 1
sin lim 20→ ；
（7）x
x x x +---→131lim
21
； （8）)1(lim 2
x x x x -++∞
→ ；
2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim
0→ ； （2）x
x
x 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ；
（4）x x x x )1(
lim +∞→ ； （5）1
)11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1
)1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶
（1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(2
1
112
x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+x
x
与x 。
4、利用等价无穷小性质求极限
（1）30sin sin tan lim x
x x x -→ ； （2）),()(sin )
sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ；
5、讨论函数的连续性 。
在⎩
⎨⎧=>-≤-=11,31
,1)(x x x x x x f 6、利用函数的连续性求极限 （1）)(lim 22
x x x x x --
++∞
→； （2）x
x
x sin ln
lim 0
→ （3）x x x 2)11(lim +
∞→； （4）)1
1
(lim ,)1(lim )(1
--=+
→∞→t f n
x
x f t n
n 求设 （5）)1(lim 2
x x x x -++∞
→ ； （6）1)1232(
lim +∞→++x x x x ； （7）3
0sin tan lim x x
x x -→ ；
7、设函数⎩⎨⎧≥+<=0
,0
,)(x x a x e x f x 应当怎样选择a ，使得)
()(∞+-∞，成为在x f 内的连续函数。
8、证明方程135
=-x x 至少有一个根介于1和2之间。
9、设⎪⎩⎪⎨⎧
≤+>=0
,0,1sin
)(2
x x a x x
x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续， 应当怎样选择数a ？
10、设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-0
1,)1ln(0,)(11x x x e x f x 求)(x f 的间断点，并说明间断点类型。
参考答案
函数与极限
一、填空题
（1）-3 （2）0;,=∈=x z
k k x π （3）2 （4）
21 （5）2
3
- （6）x=1 , x=2 （7）高阶（8）同阶 （9）二 （10）可去 （11）2 （12）-ln2
（13）1 二、计算题
1、（1）[ 2 ] （2）]2
1
[ （3）-9 （4）0 （5）2 （6）∞ （7）0 （8）22- 2、（1）w （2）
5
2 （3）1 （4）1-e （5）2e （6）1-e 3、（1）的低阶无穷小是3
2
2
2x x x x -- （2）是同阶无穷小
(3) 提示：x
x x x x x x 1312232-+-=-+ 令t x
=-12（同阶）
4、（1）21 （2）⎪⎩
⎪
⎨⎧>∞=<n
m n m n m ,,1,0
5、不连续
6、（1）1 （2）0 （3）2
e （4）0
（5）提示：乘以x x ++12
；
21
（6）提示：除以x 2 ；e （7）提示：用等阶无穷小代换 ；2
1
7、a=1
9、提示：)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==+
-
→→ （0=a ）
10、1=x 是第二类间断点 ，0=x 是第一类间断点。